Interesse composto continuo

Gli interessi composti sono gli interessi calcolati sul capitale iniziale e anche sugli interessi accumulati nei periodi precedenti di un deposito o prestito. L'effetto dell'interesse composto dipende dalla frequenza.

Supponi un tasso di interesse annuo del 12%. Se iniziamo l'anno con $ 100 e composto solo una volta, alla fine dell'anno, il capitale aumenta a $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Se invece aumentiamo ogni mese all'1%, alla fine dell'anno finiamo con più di $ 112. Cioè, $ 100 x 1, 01 ^ 12 a $ 112, 68. (È più alto perché abbiamo composto più frequentemente.)

I rendimenti composti in modo continuo aumentano il più delle volte. Il compounding continuo è il limite matematico che l'interesse composto può raggiungere. È un caso estremo di aggregazione poiché la maggior parte degli interessi è aggravata su base mensile, trimestrale o semestrale.

Tassi di rendimento semestrali

Innanzitutto, diamo un'occhiata a una convenzione potenzialmente confusa. Nel mercato obbligazionario, ci riferiamo a un rendimento equivalente (o base equivalente). Ciò significa che se un'obbligazione ha un rendimento del 6% su base semestrale, il suo rendimento equivalente all'obbligazione è del 12%.

Figura 1

Il rendimento semestrale è semplicemente raddoppiato. Ciò è potenzialmente fonte di confusione perché il rendimento effettivo di un prestito obbligazionario equivalente al 12% è del 12, 36% (ovvero 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Raddoppiare il rendimento semestrale è solo una convenzione di denominazione delle obbligazioni. Pertanto, se leggiamo un legame dell'8% composto semestralmente, assumiamo che ciò si riferisca al rendimento semestrale del 4%.

Tassi di rendimento trimestrali, mensili e giornalieri

Ora parliamo di frequenze più alte. Stiamo ancora ipotizzando un tasso di interesse di mercato annuo del 12%. In base alle convenzioni di denominazione delle obbligazioni, ciò implica un tasso composto semestrale del 6%. Ora possiamo esprimere il tasso composto trimestrale in funzione del tasso di interesse di mercato.

figura 2

Dato un tasso di mercato annuale ( r), il tasso composto trimestrale ( r _q ) è dato da:

Quindi, per il nostro esempio, dove il tasso di mercato annuale è del 12%, il tasso composto trimestrale è dell'11, 825%:

Figura 3

Una logica simile si applica al compounding mensile. Il tasso composto mensile ( r _m ) è indicato qui in funzione del tasso di interesse di mercato annuale ( r):

Il tasso composto giornaliero ( d) in funzione del tasso di interesse di mercato ( r) è dato da:

Come funziona il compounding continuo

Figura 4

Se aumentiamo la frequenza composta al suo limite, stiamo aumentando continuamente. Anche se questo potrebbe non essere pratico, il tasso di interesse costantemente composto offre proprietà meravigliosamente convenienti. Si scopre che il tasso di interesse costantemente composto è dato da:

Ln () è il log naturale e nel nostro esempio, il tasso continuamente composto è quindi:

Arriviamo allo stesso posto prendendo il registro naturale di questo rapporto: il valore finale diviso per il valore iniziale.

Quest'ultimo è comune quando si calcola il rendimento costantemente composto per un titolo. Ad esempio, se il titolo salta da $ 10 un giorno a $ 11 il giorno successivo, il rendimento giornaliero composto continuamente viene dato da:

Cosa c'è di così bello nel tasso (o nel rendimento) continuamente composto che indicheremo con r _c ">

Si noti che e è la funzione esponenziale. Ad esempio, se iniziamo con $ 100 e aumentiamo costantemente dell'8% in tre anni, la ricchezza finale è data da:

L'attualizzazione al valore attuale (PV) è semplicemente una combinazione al contrario, quindi il valore attuale di un valore futuro (F) composto in modo continuo ad un tasso di ( r _c ) è dato da:

Ad esempio, se riceverai $ 100 in tre anni con un tasso continuo del 6%, il suo valore attuale è dato da:

Ridimensionamento su più periodi

La proprietà conveniente dei rendimenti composti continuamente è che si ridimensiona su più periodi. Se il rendimento per il primo periodo è del 4% e il rendimento per il secondo periodo è del 3%, il rendimento a due periodi è del 7%. Consideriamo di iniziare l'anno con $ 100, che crescono a $ 120 alla fine del primo anno, quindi a $ 150 alla fine del secondo anno. I rendimenti composti continuamente sono rispettivamente del 18, 23% e del 22, 31%.

Se li sommiamo semplicemente insieme, otteniamo il 40, 55%. Questo è il ritorno in due periodi:

Tecnicamente parlando, il ritorno continuo è coerente nel tempo. La coerenza temporale è un requisito tecnico per il valore a rischio (VAR). Ciò significa che se un ritorno a periodo singolo è una variabile casuale normalmente distribuita, vogliamo che anche le variabili casuali a più periodi vengano normalmente distribuite. Inoltre, il rendimento composto per più periodi continuamente distribuito è normalmente distribuito (a differenza, diciamo, di un semplice rendimento percentuale).

La linea di fondo

Possiamo riformulare i tassi di interesse annuali in tassi di interesse semestrali, trimestrali, mensili o giornalieri (o tassi di rendimento). Il compounding più frequente è il compounding continuo, che ci richiede di utilizzare un registro naturale e una funzione esponenziale, che è comunemente usata in finanza grazie alle sue proprietà desiderabili: si ridimensiona facilmente su più periodi ed è coerente nel tempo.