Durata Macaulay vs. Durata modificata

La durata di Macaulay e la durata modificata sono principalmente utilizzate per calcolare la durata delle obbligazioni. La durata di Macaulay calcola il tempo medio ponderato prima che un obbligazionista riceva i flussi di cassa dell'obbligazione. Al contrario, la duration modificata misura la sensibilità al prezzo di un'obbligazione quando si verifica una variazione del rendimento alla scadenza.

La durata di Macaulay

La durata di Macaulay viene calcolata moltiplicando il periodo di tempo per il pagamento della cedola periodica e dividendo il valore risultante per 1 più il rendimento periodico elevato fino alla scadenza. Successivamente, il valore viene calcolato per ciascun periodo e sommato. Quindi, il valore risultante viene aggiunto al numero totale di periodi moltiplicato per il valore nominale, diviso per 1, più il rendimento periodico elevato al numero totale di periodi. Quindi il valore viene diviso per il prezzo corrente delle obbligazioni.

Macaulay Duration = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Prezzo corrente delle obbligazioni dove: C = cedola periodica pagata = rendimento periodico M = valore della scadenza dell'obbligazione = durata dell'obbligazione in punti \ inizio {allineato} & \ testo {Durata Macaulay} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Prezzo attuale delle obbligazioni}} \\ & \ textbf {dove:} \\ & C = \ text {pagamento cedola periodica} \\ & y = \ text {rendimento periodico} \\ & M = \ text {valore di scadenza dell'obbligazione} \\ & n = \ text {durata dell'obbligazione in periodi} \\ \ end {allineato} Durata di Macaulay = Prezzo attuale dell'obbligazione (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) dove: C = cedola periodica pagata = rendimento periodico M = valore di scadenza dell'obbligazione = durata di obbligazioni in periodi

Il prezzo di un'obbligazione viene calcolato moltiplicando il flusso di cassa per 1, meno 1, diviso per 1, più il rendimento alla scadenza, elevato al numero di periodi diviso per il rendimento richiesto. Il valore risultante viene aggiunto al valore nominale, o valore di scadenza, dell'obbligazione diviso per 1, più il rendimento alla scadenza elevato al numero del numero totale di periodi.

Ad esempio, supponiamo che la durata Macaulay di un'obbligazione quinquennale con un valore di scadenza di $ 5.000 e un tasso cedolare del 6% sia di 4, 87 anni ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

La durata modificata di questa obbligazione, con un rendimento alla scadenza del 6% per un periodo di cedola, è di 4, 59 anni (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Pertanto, se il rendimento alla scadenza aumenta dal 6% al 7%, il la durata dell'obbligazione diminuirà di 0, 28 anni (4, 87 - 4, 59).

La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell'obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della durata modificata moltiplicata per il 100%. Questa variazione percentuale risultante nell'obbligazione, per un aumento del rendimento dell'1%, è calcolata a -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).

La durata modificata

Durata modificata = Durata Macauley (1 + YTMn) dove: YTM = rendimento alla scadenza \ inizio {allineato} & \ text {Durata modificata} = \ frac {\ text {Durata Macauley}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {dove:} \\ & YTM = \ text {rendimento alla scadenza} \\ & n = \ text {numero di periodi coupon all'anno} \ fine {allineato} Modificato Durata = (1 + nYTM) Durata Macauley dove: YTM = rendimento alla scadenza

La durata modificata è una versione modificata della durata di Macaulay, che tiene conto della variazione del rendimento in termini di scadenze. La formula per la durata modificata è il valore della durata di Macaulay diviso per 1, più il rendimento alla scadenza, diviso per il numero di periodi della cedola all'anno. La durata modificata determina le variazioni della durata e del prezzo di un'obbligazione per ciascuna variazione percentuale del rendimento alla scadenza.

Ad esempio, supponiamo che un'obbligazione a sei anni abbia un valore nominale di $ 1.000 e un tasso annuale di cedola dell'8%. La durata di Macaulay è calcolata in 4, 99 anni ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

La durata modificata di questa obbligazione, con un rendimento alla scadenza dell'8% per un periodo di cedola, è di 4, 62 anni (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Pertanto, se il rendimento alla scadenza aumenta dall'8% al 9%, il la durata dell'obbligazione diminuirà di 0, 37 anni (4, 99 - 4, 62).

La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell'obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della durata modificata moltiplicata per il 100%. Questa variazione percentuale risultante nell'obbligazione, per un aumento dei tassi di interesse dall'8% al 9%, è calcolata a -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Pertanto, se i tassi di interesse aumentano dell'1% dall'oggi al domani, il prezzo dell'obbligazione dovrebbe scendere del 4, 62%.

Swap di tasso di interesse e duration modificati

La durata modificata potrebbe essere estesa per calcolare la quantità di anni necessari a uno swap su tassi di interesse per rimborsare il prezzo pagato per lo swap. Uno swap su tassi di interesse è lo scambio di una serie di flussi di cassa con un'altra e si basa sulle specifiche dei tassi di interesse tra le parti.

La durata modificata viene calcolata dividendo il valore in dollari di una variazione di un punto base di una fascia di swap su tassi di interesse, o serie di flussi di cassa, per il valore attuale della serie di flussi di cassa. Il valore viene quindi moltiplicato per 10.000. La durata modificata per ciascuna serie di flussi di cassa può anche essere calcolata dividendo il valore in dollari di una variazione del punto base della serie di flussi di cassa per il valore nozionale più il valore di mercato. La frazione viene quindi moltiplicata per 10.000.

La durata modificata di entrambe le tratte deve essere calcolata per calcolare la durata modificata dello swap su tassi di interesse. La differenza tra le due durate modificate è la durata modificata dello swap su tassi d'interesse. La formula per la durata modificata dello swap su tassi di interesse è la durata modificata della gamba ricevente meno la durata modificata della gamba pagante.

Ad esempio, supponiamo che la banca A e la banca B effettuino uno swap sui tassi di interesse. La durata modificata della gamba ricevente di uno swap è calcolata come nove anni e la durata modificata della gamba pagante è calcolata come cinque anni. La durata modificata risultante dello swap su tassi di interesse è di quattro anni (9 anni - 5 anni).

Confronto tra la durata di Macaulay e la durata modificata

Poiché la durata di Macaulay misura il tempo medio ponderato in cui un investitore deve detenere un'obbligazione fino a quando il valore attuale dei flussi finanziari dell'obbligazione è pari all'importo pagato per l'obbligazione, viene spesso utilizzato dai gestori obbligazionari che cercano di gestire il rischio del portafoglio obbligazionario con strategie di immunizzazione .

Al contrario, la durata modificata identifica quanto cambia la durata per ogni variazione percentuale del rendimento, misurando al contempo quanto una variazione dei tassi di interesse influisce sul prezzo di un'obbligazione. Pertanto, la duration modificata può fornire una misura del rischio per gli investitori obbligazionari approssimando quanto il prezzo di un'obbligazione potrebbe diminuire con un aumento dei tassi di interesse. È importante notare che i prezzi delle obbligazioni e i tassi di interesse hanno una relazione inversa tra loro.