Come utilizzare la simulazione Monte Carlo con GBM

Uno dei modi più comuni per stimare il rischio è l'uso di una simulazione Monte Carlo (MCS). Ad esempio, per calcolare il valore a rischio (VaR) di un portafoglio, possiamo eseguire una simulazione Monte Carlo che tenta di prevedere la perdita peggiore probabile per un portafoglio dato un intervallo di confidenza su un orizzonte temporale specificato (dobbiamo sempre specificare due condizioni per VaR: fiducia e orizzonte).

In questo articolo, esamineremo un MCS di base applicato a un prezzo delle azioni utilizzando uno dei modelli più comuni in finanza: il geometrico brownian motion (GBM). Pertanto, mentre la simulazione Monte Carlo può fare riferimento a un universo di approcci diversi alla simulazione, inizieremo qui con i più elementari.

Dove iniziare

Una simulazione Monte Carlo è un tentativo di prevedere il futuro molte volte. Alla fine della simulazione, migliaia o milioni di "studi casuali" producono una distribuzione di risultati che possono essere analizzati. I passaggi di base sono i seguenti:

1. Specificare un modello (ad es. GBM)

Per questo articolo, utilizzeremo il Geometric Brownian Motion (GBM), che è tecnicamente un processo Markov. Ciò significa che il prezzo delle azioni segue una camminata casuale ed è coerente con (almeno) la forma debole dell'ipotesi di mercato efficiente (EMH) - le informazioni sui prezzi passati sono già incorporate e il prossimo movimento dei prezzi è "condizionatamente indipendente" movimenti passati dei prezzi.

La formula per GBM si trova di seguito:

Dove:

• S = Il prezzo delle azioni
• Δ S = La variazione del prezzo delle azioni
• μ = Il rendimento atteso
• σ = Deviazione standard dei rendimenti
• ϵ = La variabile casuale
• Δ t = periodo di tempo trascorso

Se riordiniamo la formula per risolvere solo la variazione del prezzo delle azioni, vediamo che GBM afferma che la variazione del prezzo delle azioni è il prezzo delle azioni "S" moltiplicato per i due termini che si trovano tra parentesi:

Il primo termine è una "deriva" e il secondo termine è uno "shock". Per ogni periodo di tempo, il nostro modello presuppone che il prezzo "derivi" dal rendimento atteso. Ma la deriva sarà sconvolta (aggiunta o sottratta) da uno shock casuale. Lo shock casuale sarà la deviazione standard "s" moltiplicata per un numero casuale "e". Questo è semplicemente un modo per ridimensionare la deviazione standard.

Questa è l'essenza di GBM, come illustrato nella Figura 1. Il prezzo del titolo segue una serie di passaggi, in cui ogni passaggio è una deriva più o meno uno shock casuale (a sua volta una funzione della deviazione standard del titolo):

Figura 1

2. Genera prove casuali

Armati di una specifica del modello, procediamo quindi a eseguire prove casuali. Per illustrare, abbiamo usato Microsoft Excel per eseguire 40 prove. Tieni presente che si tratta di un campione irrealisticamente piccolo; la maggior parte delle simulazioni o "sim" eseguono almeno diverse migliaia di prove.

In questo caso, supponiamo che lo stock inizi il giorno zero con un prezzo di $ 10. Ecco un grafico del risultato in cui ogni passaggio temporale (o intervallo) è di un giorno e la serie dura dieci giorni (in sintesi: quaranta prove con passaggi giornalieri su dieci giorni):

Figura 2: moto browniano geometrico

Il risultato sono quaranta azioni simulate alla fine di 10 giorni. Nessuno è sceso al di sotto di $ 9 e uno è superiore a $ 11.

3. Elaborazione dell'output

La simulazione ha prodotto una distribuzione di ipotetici risultati futuri. Potremmo fare diverse cose con l'output.

Se, ad esempio, vogliamo stimare il VaR con una sicurezza del 95%, allora dobbiamo solo individuare il risultato trentottesimo classificato (il terzo peggior risultato). Questo perché 2/40 equivale al 5%, quindi i due risultati peggiori sono nel 5% più basso.

Se raggruppiamo i risultati illustrati in bin (ogni bin è un terzo di $ 1, quindi tre bin coprono l'intervallo da $ 9 a $ 10), otterremo il seguente istogramma:

Figura 3

Ricorda che il nostro modello GBM assume la normalità; i rendimenti di prezzo sono normalmente distribuiti con rendimento atteso (media) "m" e deviazione standard "s". È interessante notare che il nostro istogramma non sembra normale. In effetti, con più prove, non tenderà alla normalità. Al contrario, tenderà verso una distribuzione lognormale: una brusca caduta a sinistra della media e una "coda lunga" molto inclinata a destra della media.

Ciò porta spesso a una dinamica potenzialmente confusa per gli studenti alle prime armi:

• I rendimenti sono normalmente distribuiti.
• I livelli dei prezzi sono distribuiti normalmente.

Pensaci in questo modo: un titolo può tornare su o giù del 5% o del 10%, ma dopo un certo periodo di tempo, il prezzo del titolo non può essere negativo. Inoltre, gli aumenti di prezzo al rialzo hanno un effetto aggravante, mentre i ribassi al ribasso riducono la base: perdi il 10% e rimani con meno da perdere la prossima volta.

Ecco un grafico della distribuzione lognormale sovrapposta ai nostri presupposti illustrati (ad esempio prezzo iniziale di $ 10):

Figura 4

La linea di fondo

Una simulazione Monte Carlo applica un modello selezionato (che specifica il comportamento di uno strumento) a una vasta serie di prove casuali nel tentativo di produrre una serie plausibile di possibili risultati futuri. Per quanto riguarda la simulazione dei prezzi delle azioni, il modello più comune è il moto browniano geometrico (GBM). GBM presume che una deriva costante sia accompagnata da shock casuali. Mentre i rendimenti di periodo in GBM sono normalmente distribuiti, i conseguenti livelli di prezzo multi-periodo (ad esempio, dieci giorni) sono distribuiti in modo lognormale.