Comprensione del valore temporale del denaro

Congratulazioni!!! Hai vinto un premio in denaro! Hai due opzioni di pagamento: A: Ricevi $ 10.000 ora o B: Ricevi $ 10.000 in tre anni. Quale opzione sceglieresti?

Qual è il valore del denaro nel tempo?

Se sei come la maggior parte delle persone, scegli di ricevere $ 10.000 ora. Dopotutto, tre anni sono tanti da aspettare. Perché una persona razionale dovrebbe rimandare il pagamento nel futuro quando ora potrebbe avere la stessa somma di denaro? Per la maggior parte di noi, prendere i soldi nel presente è semplicemente istintivo. Quindi, al livello più elementare, il valore temporale del denaro dimostra che, a parità di condizioni, sembra meglio avere denaro ora piuttosto che dopo.

Ma perché è questo? Una fattura da $ 100 ha lo stesso valore di una fattura da $ 100 tra un anno, no? In realtà, sebbene il conto sia lo stesso, puoi fare molto di più con i soldi se li hai ora perché nel tempo puoi guadagnare più interessi sui tuoi soldi.

Torna al nostro esempio: ricevendo $ 10.000 oggi, sei pronto ad aumentare il valore futuro del tuo denaro investendo e guadagnando interessi per un periodo di tempo. Per l'opzione B, non hai tempo dalla tua parte e il pagamento ricevuto in tre anni sarebbe il tuo valore futuro. Per illustrare, abbiamo fornito una sequenza temporale:

Se scegli l'opzione A, il tuo valore futuro sarà di $ 10.000 più qualsiasi interesse acquisito nel corso dei tre anni. Il valore futuro per l'opzione B, d'altra parte, sarebbe solo $ 10.000. Quindi, come puoi calcolare esattamente quanto vale l'opzione A in più rispetto all'opzione B? Diamo un'occhiata.

Nozioni di base sul valore futuro

Se si sceglie l'opzione A e si investe l'importo totale a un tasso annuo semplice del 4, 5%, il valore futuro dell'investimento alla fine del primo anno è di $ 10.450. Arriviamo a questa somma moltiplicando l'importo principale di $ 10.000 per il tasso di interesse del 4, 5% e quindi aggiungendo l'interesse acquisito all'importo principale:

$ 10.000 × 0, 045 = $ 450 \ inizio {allineato} & \ $ 10.000 \ volte 0, 045 = \ $ 450 \\ \ end {allineato} $ 10.000 × 0, 045 = $ 450

$ 450 + $ 10.000 = $ 10.450 \ inizio {allineato} & \ $ 450 + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ \ fine {allineato} $ 450 + $ 10.000 = $ 10.450

Puoi anche calcolare l'importo totale di un investimento di un anno con una semplice manipolazione dell'equazione sopra:

OE = ($ 10.000 × 0, 045) + $ 10.000 = $ 10, 450 dove: OE = equazione originale \ inizio {allineato} & \ text {OE} = (\ $ 10.000 \ volte 0, 045) + \ $ 10.000 = \ $ 10, 450 \\ & \ textbf {dove :} \\ & \ text {OE} = \ text {equazione originale} \\ \ end {allineato} OE = ($ 10.000 × 0, 045) + $ 10.000 = $ 10, 450 dove: OE = equazione originale

Manipolazione = $ 10.000 × [(1 × 0, 045) +1] = $ 10, 450 \ inizio {allineato} & \ text {Manipolazione} = \ $ 10.000 \ volte [(1 \ volte 0, 045) + 1] = \ $ 10, 450 \\ \ end { allineato} Manipolazione = $ 10.000 x [(1 × 0, 045) +1] = $ 10.450

Equazione finale = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = $ 10, 450 \ inizio {allineato} & \ text {Equazione finale} = \ $ 10.000 \ volte (0, 045 + 1) = \ $ 10, 450 \\ \ end {allineato} Equazione finale = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = $ 10.450

L'equazione manipolata sopra è semplicemente una rimozione della variabile simile $ 10.000 (l'importo principale) dividendo l'intera equazione originale per $ 10.000.

Se i $ 10.450 rimasti nel tuo conto di investimento alla fine del primo anno rimangono invariati e lo hai investito al 4, 5% per un altro anno, quanto avresti? Per calcolare questo, dovresti prendere $ 10, 450 e moltiplicarlo di nuovo per 1, 045 (0, 045 +1). Alla fine di due anni, avresti $ 10, 920, 25.

Calcolo del valore futuro

Il calcolo precedente, quindi, equivale alla seguente equazione:

Valore futuro = $ 10.000 × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ inizio {allineato} e \ testo {Valore futuro} = \ $ 10.000 \ volte (1 + 0, 045) \ volte (1 + 0, 045) \\ \ fine {allineato} Valore futuro = $ 10.000 × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Ripensare alla classe di matematica e alla regola degli esponenti, che afferma che la moltiplicazione di termini simili equivale all'aggiunta dei loro esponenti. Nell'equazione precedente, i due termini simili sono (1+ 0, 045) e l'esponente su ciascuno è uguale a 1. Pertanto, l'equazione può essere rappresentata come segue:

Valore futuro = $ 10.000 × (1 + 0, 045) 2 \ inizio {allineato} & \ text {Valore futuro} = \ $ 10.000 \ volte (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {allineato} Valore futuro = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 2

Possiamo vedere che l'esponente è uguale al numero di anni per i quali il denaro guadagna interesse in un investimento. Pertanto, l'equazione per il calcolo del valore futuro triennale dell'investimento sarebbe simile a questa:

Valore futuro = $ 10.000 × (1 + 0, 045) 3 \ inizio {allineato} & \ text {Valore futuro} = \ $ 10.000 \ volte (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {allineato} Valore futuro = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 3

Tuttavia, non è necessario continuare a calcolare il valore futuro dopo il primo anno, quindi il secondo anno, quindi il terzo anno e così via. Puoi capirlo tutto in una volta, per così dire. Se conosci la quantità attuale di denaro che hai in un investimento, il suo tasso di rendimento e per quanti anni vorresti detenere tale investimento, puoi calcolare il valore futuro (FV) di tale importo. È fatto con l'equazione:

FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valore futuro PV = Valore attuale (importo originale di denaro) i = Tasso di interesse per periodon = Numero di periodi \ inizio {allineato} & \ testo {FV} = \ testo { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ text {FV} = \ text {Valore futuro} \\ & \ text {PV} = \ text {Valore attuale ( importo originale di denaro)} \\ & i = \ text {Tasso di interesse per periodo} \\ & n = \ text {Numero di periodi} \\ \ end {allineato} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valore futuro PV = Valore attuale (importo originale di denaro) i = Tasso di interesse per periodo = Numero di periodi

Nozioni di base sul valore attuale

Se hai ricevuto $ 10.000 oggi, il suo valore attuale sarebbe, ovviamente, $ 10.000 perché il valore attuale è ciò che il tuo investimento ti dà ora se dovessi spenderlo oggi. Se dovessi ricevere $ 10.000 in un anno, il valore attuale dell'importo non sarebbe di $ 10.000 perché non lo hai in mano ora, nel presente.

Per trovare il valore attuale di $ 10.000 che riceverai in futuro, devi far finta che $ 10.000 sia il valore futuro totale di un importo che hai investito oggi. In altre parole, per trovare il valore attuale dei futuri $ 10.000, dobbiamo scoprire quanto dovremmo investire oggi per ricevere quei $ 10.000 in un anno.

Per calcolare il valore attuale o l'importo che dovremmo investire oggi, è necessario sottrarre l'interesse (ipotetico) accumulato dai $ 10.000. Per raggiungere questo obiettivo, possiamo attualizzare l'importo del pagamento futuro ($ 10.000) del tasso di interesse per il periodo. In sostanza, tutto ciò che stai facendo è riorganizzare l'equazione del valore futuro sopra in modo da poter risolvere per il valore attuale (PV). L'equazione del valore futuro sopra riportata può essere riscritta come segue:

PV = FV (1 + i) n \ begin {align} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {align} PV = (1 + i) NFV

Un'equazione alternativa sarebbe:

PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = Valore attuale (importo originale di denaro) FV = Valore futuroi = Tasso di interesse per periodn = Numero di periodi \ inizio {allineato} & \ text {PV} = \ testo {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valore attuale (importo originale del denaro)} \\ & \ text {FV} = \ text {Valore futuro} \\ & i = \ text {Tasso di interesse per periodo} \\ & n = \ text {Numero di periodi} \\ \ end {allineato} PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = valore attuale (importo originale di denaro) FV = valore futuroi = tasso di interesse per periodo = numero di periodi

Calcolo del valore attuale

Facciamo un passo indietro rispetto ai $ 10.000 offerti nell'Opzione B. Ricorda, i $ 10.000 da ricevere in tre anni sono davvero gli stessi del valore futuro di un investimento. Se dovessimo trascorrere un anno prima di ottenere i soldi, faremmo uno sconto sul pagamento di un anno. Usando la nostra formula del valore attuale (versione 2), all'attuale punteggio di due anni, il valore attuale di $ 10.000 da ricevere in un anno sarebbe $ 10.000 x (1 + 0, 045) ^-1 = $ 9569, 38.

Si noti che se oggi fossimo al livello di un anno, i 9.569, 38 $ sopra sarebbero considerati il valore futuro del nostro investimento tra un anno.

Continuando, alla fine del primo anno ci aspetteremmo di ricevere il pagamento di $ 10.000 in due anni. Ad un tasso di interesse del 4, 5%, il calcolo del valore attuale di un pagamento di $ 10.000 previsto in due anni sarebbe di $ 10.000 x (1 + 0, 045) ^-2 = $ 9157, 30.

Ovviamente, a causa della regola degli esponenti, non dobbiamo calcolare il valore futuro dell'investimento ogni anno contando dall'investimento di $ 10.000 nel terzo anno. Potremmo mettere l'equazione in modo più conciso e usare $ 10.000 come FV. Quindi, ecco come calcolare il valore attuale di oggi dei $ 10.000 previsti da un investimento triennale che guadagna il 4, 5%:

$ 8.762, 97 = $ 10.000 × (1 + 0, 045) −3 \ inizio {allineato} & \ $ 8.762, 97 = \ $ 10.000 \ volte (1 + 0, 045) ^ {- 3} \\ \ end {allineato} $ 8.762, 97 = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) -3

Quindi il valore attuale di un pagamento futuro di $ 10.000 vale oggi 8.762, 97 $ se i tassi di interesse sono del 4, 5% all'anno. In altre parole, scegliere l'opzione B è come prendere $ 8.762, 97 ora e poi investirlo per tre anni. Le equazioni sopra illustrano che l'opzione A è migliore non solo perché ti offre denaro in questo momento ma perché ti offre $ 1.237, 03 ($ 10.000 - $ 8.762, 97) in contanti! Inoltre, se investi $ 10.000 che ricevi dall'opzione A, la tua scelta ti darà un valore futuro che è $ 1.411, 66 ($ 11.411, 66 - $ 10.000) maggiore del valore futuro dell'opzione B.

Valore attuale di un pagamento futuro

Alziamo l'ante sulla nostra offerta. Che cosa succede se il pagamento futuro è superiore all'importo che riceveresti immediatamente? Supponiamo che tu possa ricevere $ 15.000 oggi o $ 18.000 in quattro anni. La decisione è ora più difficile. Se scegli di ricevere $ 15.000 oggi e investi l'intero importo, potresti effettivamente finire con un importo in contanti in quattro anni che è inferiore a $ 18.000.

Come decidere? Potresti trovare il valore futuro di $ 15.000, ma poiché viviamo sempre nel presente, troviamo il valore attuale di $ 18.000. Questa volta, supponiamo che i tassi di interesse siano attualmente del 4%. Ricorda che l'equazione per il valore attuale è la seguente:

PV = FV × (1 + i) −n \ begin {align} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {align} PV = FV × (1 + i) -n

Nell'equazione sopra, tutto ciò che stiamo facendo è attualizzare il valore futuro di un investimento. Usando i numeri sopra, il valore attuale di un pagamento di $ 18.000 in quattro anni sarebbe calcolato come $ 18.000 x (1 + 0, 04) ^-4 = $ 15, 386, 48.

Dal calcolo di cui sopra, ora sappiamo che la nostra scelta oggi è tra la scelta di $ 15.000 o $ 15.386, 48. Certo, dovremmo scegliere di posticipare il pagamento di quattro anni!

La linea di fondo

Questi calcoli dimostrano che il tempo è letteralmente denaro: il valore del denaro che hai ora non è lo stesso di quello che sarà in futuro e viceversa. Pertanto, è importante sapere come calcolare il valore temporale del denaro in modo da poter distinguere tra il valore degli investimenti che offrono rendimenti in tempi diversi. (Per la lettura correlata, vedere "Valore temporale del denaro e del dollaro")