Utilizzo di metodi comuni di distribuzione della probabilità di stock

Quasi indipendentemente dalla vostra opinione sulla prevedibilità o efficienza dei mercati, probabilmente accetterete che per la maggior parte delle attività, i rendimenti garantiti sono incerti o rischiosi. Se ignoriamo la matematica che sta alla base delle distribuzioni di probabilità, possiamo vedere che sono immagini che descrivono una particolare visione dell'incertezza. La distribuzione di probabilità è un calcolo statistico che descrive la probabilità che una determinata variabile cada tra o all'interno di un intervallo specifico su un grafico di stampa.

L'incertezza si riferisce alla casualità. È diverso dalla mancanza di prevedibilità o dall'inefficienza del mercato. Una visione di ricerca emergente sostiene che i mercati finanziari sono sia incerti che prevedibili. Inoltre, i mercati possono essere efficienti ma anche incerti.

In finanza, utilizziamo le distribuzioni di probabilità per disegnare immagini che illustrano la nostra visione della sensibilità di un rendimento patrimoniale quando riteniamo che il rendimento patrimoniale possa essere considerato una variabile casuale. In questo articolo, esamineremo alcune delle distribuzioni di probabilità più popolari e ti mostreremo come calcolarle.

Le distribuzioni possono essere classificate come discrete o continue e indipendentemente dal fatto che si tratti di una funzione di densità di probabilità (PDF) o di una distribuzione cumulativa.

Distribuzioni discrete vs. continue

Discreto si riferisce a una variabile casuale ricavata da un insieme finito di possibili esiti. Un dado a sei facce, ad esempio, ha sei esiti discreti. Una distribuzione continua si riferisce a una variabile casuale ricavata da un insieme infinito. Esempi di variabili casuali continue includono velocità, distanza e alcuni rendimenti delle attività. Una variabile casuale discreta è in genere illustrata con punti o trattini, mentre una variabile continua è illustrata con una linea continua. La Figura 1 mostra distribuzioni discrete e continue per una distribuzione normale con media (valore atteso) di 50 e una deviazione standard di 10:

Figura 1

La distribuzione è un tentativo di tracciare l'incertezza. In questo caso, un risultato di 50 è il più probabile ma accadrà solo circa il 4% delle volte; un risultato di 40 è una deviazione standard al di sotto della media e si verificherà poco meno del 2, 5% delle volte.

Densità di probabilità vs. distribuzione cumulativa

L'altra distinzione è tra la funzione di densità di probabilità (PDF) e la funzione di distribuzione cumulativa. Il PDF è la probabilità che la nostra variabile casuale raggiunga un valore specifico (o nel caso di una variabile continua, di cadere tra un intervallo). Mostriamo che indicando la probabilità che una variabile casuale X sia uguale a un valore reale x:

P [x = X] \ begin {allineato} e P [x = X] \\ \ end {allineato} P [x = X]

La distribuzione cumulativa è la probabilità che la variabile casuale X sia inferiore o uguale al valore reale x:

P [x <= X] \ begin {allineato} e P [x <= X] \\ \ end {allineato} P [x <= X]

o esempio, se la tua altezza è una variabile casuale con un valore atteso di 5'10 "pollici (altezza media dei tuoi genitori), la domanda PDF è:" Qual è la probabilità che raggiungerai un'altezza di 5'4 "" >

La Figura 1 mostrava due distribuzioni normali. Ora puoi vedere questi sono grafici della funzione di densità di probabilità (PDF). Se ri-tracciamo esattamente la stessa distribuzione di una distribuzione cumulativa, otterremo quanto segue:

figura 2

La distribuzione cumulativa deve infine raggiungere 1, 0 o 100% sull'asse y. Se alziamo la barra abbastanza in alto, allora ad un certo punto, praticamente tutti i risultati rientreranno in quella barra (potremmo dire che la distribuzione è in genere asintotica a 1.0).

La finanza, una scienza sociale, non è pulita come le scienze fisiche. La gravità, ad esempio, ha una formula elegante da cui possiamo fare affidamento, di volta in volta. I rendimenti delle attività finanziarie, d'altra parte, non possono essere replicati in modo così coerente. Una quantità sbalorditiva di denaro è stata persa nel corso degli anni da persone intelligenti che hanno confuso le distribuzioni accurate (cioè, come se derivassero dalle scienze fisiche) con le approssimazioni disordinate e inaffidabili che cercano di rappresentare i rendimenti finanziari. In finanza, le distribuzioni di probabilità sono poco più che rappresentazioni pittoriche grezze.

Distribuzione uniforme

La distribuzione più semplice e popolare è la distribuzione uniforme, in cui tutti i risultati hanno le stesse probabilità di verificarsi. Un dado a sei facce ha una distribuzione uniforme. Ogni risultato ha una probabilità di circa il 16, 67% (1/6). Il nostro diagramma qui sotto mostra la linea continua (in modo da poterla vedere meglio), ma tieni presente che questa è una distribuzione discreta - non puoi tirare 2.5 o 2.11:

Figura 3

Ora tira insieme due dadi, come mostrato nella Figura 4, e la distribuzione non è più uniforme. Picco a sette, che ha una probabilità del 16, 67%. In questo caso, tutti gli altri risultati sono meno probabili:

Figura 4

Ora tira insieme tre dadi, come mostrato nella Figura 5. Iniziamo a vedere gli effetti di un teorema più sorprendente: il teorema limite centrale. Il teorema del limite centrale promette audacemente che la somma o la media di una serie di variabili indipendenti tenderà a diventare normalmente distribuita, indipendentemente dalla propria distribuzione . I nostri dadi sono individualmente uniformi ma li combinano e - quando aggiungiamo più dadi - quasi magicamente la loro somma tenderà alla familiare distribuzione normale.

Figura 5

Distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale riflette una serie di prove "o / o", come una serie di lanci di monete. Queste sono chiamate prove di Bernoulli - che si riferiscono ad eventi che hanno solo due risultati - ma non hai bisogno di nemmeno (50/50) probabilità. La distribuzione binomiale sotto traccia una serie di 10 lanci di monete in cui la probabilità di testa è del 50% (p-0, 5). Puoi vedere in Figura 6 che la possibilità di lanciare esattamente cinque teste e cinque code (l'ordine non ha importanza) è appena del 25%:

Figura 6

Se la distribuzione binomiale ti sembra normale, hai ragione. All'aumentare del numero di prove, il binomio tende alla distribuzione normale.

Distribuzione lognormale

La distribuzione lognormale è molto importante in finanza perché molti dei modelli più popolari ipotizzano che i prezzi delle azioni siano distribuiti in modo lognormale. È facile confondere i rendimenti delle attività con i livelli dei prezzi.

I rendimenti delle attività sono spesso trattati normalmente: un titolo può aumentare del 10% o del 10%. I livelli dei prezzi sono spesso trattati come lognormali: uno stock di $ 10 può arrivare a $ 30 ma non può scendere a - $ 10. La distribuzione lognormale è diversa da zero e inclinata a destra (di nuovo, uno stock non può scendere sotto lo zero ma non ha limiti teorici al rialzo):

Figura 7

poisson

La distribuzione di Poisson viene utilizzata per descrivere le probabilità di un determinato evento (ad esempio, una perdita giornaliera del portafoglio inferiore al 5%) che si verificano in un intervallo di tempo. Quindi, nell'esempio seguente, assumiamo che alcuni processi operativi abbiano un tasso di errore del 3%. Supponiamo inoltre 100 prove casuali; la distribuzione di Poisson descrive la probabilità di ottenere un certo numero di errori per un certo periodo di tempo, ad esempio un singolo giorno.

Figura 8

Student's T

Anche la distribuzione a T dello studente è molto popolare perché ha una coda leggermente più "grassa" rispetto alla distribuzione normale. La T dello studente viene utilizzata in genere quando la dimensione del nostro campione è piccola (cioè inferiore a 30). In finanza, la coda sinistra rappresenta le perdite. Pertanto, se la dimensione del campione è piccola, osiamo sottovalutare le probabilità di una grande perdita. La coda più grassa sulla T dello studente ci aiuterà qui. Anche così, capita che la coda grassa di questa distribuzione spesso non sia abbastanza grassa. I rendimenti finanziari tendono ad esibire, in rare occasioni catastrofiche, perdite davvero fat-tail (cioè più grasse di quanto previsto dalle distribuzioni). Grandi somme di denaro sono state perse in questo senso.

Figura 9

Distribuzione beta

Infine, la distribuzione beta (da non confondere con il parametro beta nel modello di pricing delle attività in conto capitale) è popolare tra i modelli che stimano i tassi di recupero sui portafogli obbligazionari. La distribuzione beta è l'utility player delle distribuzioni. Come il normale, necessita solo di due parametri (alfa e beta), ma possono essere combinati per una notevole flessibilità. Quattro possibili distribuzioni beta sono illustrate nella Figura 10 di seguito:

Figura 10

La linea di fondo

Come tante scarpe nel nostro armadio statistico, cerchiamo di scegliere la soluzione migliore per l'occasione, ma non sappiamo davvero che tempo ci riservi. Possiamo scegliere una distribuzione normale, quindi scoprirla sottovalutata delle perdite nella coda sinistra; quindi passiamo a una distribuzione distorta, solo per trovare i dati sembrano più "normali" nel prossimo periodo. L'elegante matematica sottostante può indurti a pensare che queste distribuzioni rivelino una verità più profonda, ma è più probabile che siano semplici artefatti umani. Ad esempio, tutte le distribuzioni che abbiamo esaminato sono abbastanza fluide, ma alcuni rendimenti delle attività saltano in modo discontinuo.

La distribuzione normale è onnipresente ed elegante e richiede solo due parametri (media e distribuzione). Molte altre distribuzioni convergono verso il normale (ad esempio, binomiale e Poisson). Tuttavia, molte situazioni, come i rendimenti degli hedge fund, i portafogli di credito e gli eventi di grave perdita, non meritano le normali distribuzioni.