Definizione di relazione lineare

Che cos'è una relazione lineare?

Una relazione lineare (o associazione lineare) è un termine statistico utilizzato per descrivere una relazione in linea retta tra una variabile e una costante. Le relazioni lineari possono essere espresse in un formato grafico in cui la variabile e la costante sono collegate tramite una linea retta o in un formato matematico in cui la variabile indipendente viene moltiplicata per il coefficiente di pendenza, aggiunto da una costante, che determina la variabile dipendente.

Una relazione lineare può essere contrastata con una relazione polinomiale o non lineare (curva).

Key Takeaways

• Una relazione lineare (o associazione lineare) è un termine statistico utilizzato per descrivere una relazione in linea retta tra una variabile e una costante.
• Le relazioni lineari possono essere espresse in un formato grafico o come equazione matematica della forma y = mx + b.
• Le relazioni lineari sono abbastanza comuni nella vita quotidiana.

L'equazione lineare è:

Matematicamente, una relazione lineare è quella che soddisfa l'equazione:

y = mx + bwhere: m = pendenzab = intercetta y \ inizio {allineato} & y = mx + b \\ & \ textbf {dove:} \\ & m = \ text {pendenza} \\ & b = \ text {y -intercept} \\ \ end {align} y = mx + bwhere: m = pendenza = intercetta y

In questa equazione, "x" e "y" sono due variabili che sono correlate dai parametri "m" e "b". Graficamente, y = mx + b viene tracciato nel piano xy come una linea con pendenza "m" e intercetta y "b". L'intercetta y "b" è semplicemente il valore di "y" quando x = 0. La pendenza "m" viene calcolata da due punti individuali (x ₁, y ₁ ) e (x ₂, y ₂ ) come:

m = (y2 − y1) (x2 − x1) m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} m = (x2 −x1) (y2 −y1)

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Relazione lineare

Cosa ti dice una relazione lineare?

Esistono tre serie di criteri necessari che un'equazione deve soddisfare per qualificarsi come lineare: un'equazione che esprime una relazione lineare non può essere composta da più di due variabili, tutte le variabili di un'equazione devono essere alla prima potenza e l'equazione deve rappresentare graficamente una linea retta.

Una funzione lineare in matematica è quella che soddisfa le proprietà di additività e omogeneità. Le funzioni lineari osservano anche il principio di sovrapposizione, in base al quale l'uscita netta di due o più ingressi equivale alla somma delle uscite dei singoli ingressi. Una relazione lineare comunemente usata è una correlazione, che descrive come una variabile cambia in modo lineare in cambiamenti in un'altra variabile.

In econometria, la regressione lineare è un metodo spesso usato per generare relazioni lineari per spiegare vari fenomeni. Tuttavia, non tutte le relazioni sono lineari. Alcuni dati descrivono relazioni curve (come le relazioni polinomiali) mentre altri dati non possono essere parametrizzati.

Funzioni lineari

Matematicamente simile a una relazione lineare è il concetto di funzione lineare. In una variabile, una funzione lineare può essere scritta come segue:

f (x) = mx + bwhere: m = pendenza = intercettazione y \ inizio {allineato} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {dove:} \\ & m = \ text {pendenza} \\ & b = \ text {intercetta-y} \\ \ end {allineato} f (x) = mx + bwhere: m = pendenzab = intercetta-y

Questo è identico alla formula data per una relazione lineare, tranne per il fatto che il simbolo f (x) è usato al posto di y. Questa sostituzione viene fatta per evidenziare il significato che x è mappato su f (x), mentre l'uso di y indica semplicemente che xey sono due quantità, correlate da A e B.

Nello studio dell'algebra lineare, le proprietà delle funzioni lineari sono ampiamente studiate e rese rigorose. Dato uno scalare C e due vettori A e B da R ^N, la definizione più generale di una funzione lineare afferma che: c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B) c \ volte f (A + B) = c \ volte f (A) + c \ volte f (B) c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Esempi di relazioni lineari

Esempio 1

Le relazioni lineari sono piuttosto comuni nella vita quotidiana. Prendiamo ad esempio il concetto di velocità. La formula che utilizziamo per calcolare la velocità è la seguente: il tasso di velocità è la distanza percorsa nel tempo. Se qualcuno in un minivan bianco Chrysler Town and Country del 2007 viaggia tra Sacramento e Marysville in California, un tratto di 66 km sull'autostrada 99, e il viaggio completo dura 40 minuti, viaggerà poco meno di 60 mph.

Mentre ci sono più di due variabili in questa equazione, è ancora un'equazione lineare perché una delle variabili sarà sempre una costante (distanza).

Esempio 2

Una relazione lineare si trova anche nell'equazione distance = rate x time. Poiché la distanza è un numero positivo (nella maggior parte dei casi), questa relazione lineare sarebbe espressa sul quadrante in alto a destra di un grafico con un asse X e Y.

Se una bicicletta fatta per due viaggiava a una velocità di 30 miglia orarie per 20 ore, il pilota finiva per percorrere 600 miglia. Rappresentata graficamente con la distanza sull'asse Y e il tempo sull'asse X, una linea che traccia la distanza in quelle 20 ore si sposterebbe direttamente dalla convergenza degli assi X e Y.

Esempio 3

Per convertire Celsius in Fahrenheit o Fahrenheit in Celsius, dovrai usare le equazioni seguenti. Queste equazioni esprimono una relazione lineare su un grafico:

° C = 59 (° F − 32) \ gradi C = \ frac {5} {9} (\ gradi F - 32) ° C = 95 (° F − 32)

° F = 95 (° C + 32) \ gradi F = \ frac {9} {5} (\ gradi C + 32) ° F = 59 (° C + 32)

Esempio 4

Supponiamo che la variabile indipendente sia la dimensione di una casa (misurata da metratura) che determina il prezzo di mercato di una casa (la variabile dipendente) quando viene moltiplicata per il coefficiente di pendenza di 207, 65 e viene quindi aggiunta al termine costante $ 10.500 . Se il metraggio di una casa è 1.250, il valore di mercato della casa è (1.250 x 207.65) + $ 10.500 = $ 270.062, 50. Graficamente e matematicamente, appare come segue:

In questo esempio, con l'aumentare delle dimensioni della casa, il valore di mercato della casa aumenta in modo lineare.

Alcune relazioni lineari tra due oggetti possono essere definite una "costante di proporzionalità". Questa relazione appare come

Y = k × Xwhere: k = costanteY, X = quantità proporzionali \ inizio {allineato} & Y = k \ volte X \\ & \ textbf {dove:} \\ & k = \ text {costante} \\ & Y, X = \ text {quantità proporzionali} \\ \ end {allineato} Y = k × Xwhere: k = costanteY, X = quantità proporzionali

Quando si analizzano i dati comportamentali, raramente esiste una relazione lineare perfetta tra le variabili. Tuttavia, è possibile trovare linee di tendenza nei dati che formano una versione approssimativa di una relazione lineare. Ad esempio, potresti considerare la vendita di gelati e il numero di visite in ospedale come le due variabili in gioco in un grafico e trovare una relazione lineare tra le due.

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