Ottimizza il tuo portafoglio utilizzando la distribuzione normale

La distribuzione normale è la distribuzione di probabilità che traccia tutti i suoi valori in modo simmetrico con la maggior parte dei risultati situati intorno alla media della probabilità.

Distribuzione normale (curva a campana)

Gli insiemi di dati (come l'altezza di 100 umani, i voti ottenuti da 45 alunni in una classe, ecc.) Tendono ad avere molti valori nello stesso punto dati o all'interno dello stesso intervallo. Questa distribuzione di punti dati è chiamata distribuzione normale o curva a campana.

Ad esempio, in un gruppo di 100 individui, 10 possono essere alti meno di 5 piedi, 65 possono stare tra 5 e 5, 5 piedi e 25 possono essere sopra 5, 5 piedi. Questa distribuzione con limite di intervallo può essere tracciata come segue:

Allo stesso modo, i punti dati tracciati nei grafici per ogni dato set di dati possono assomigliare a diversi tipi di distribuzioni. Tre delle più comuni sono le distribuzioni allineate a sinistra, allineate a destra e confuse:

Nota la linea di tendenza rossa in ciascuno di questi grafici. Ciò indica approssimativamente l'andamento della distribuzione dei dati. Il primo, "SINISTRA distribuzione allineata", indica che la maggior parte dei punti dati rientra nell'intervallo inferiore. Nel secondo grafico "RIGHT Aligned Distribution", la maggior parte dei punti di dati rientrano nel limite superiore dell'intervallo, mentre l'ultimo, "Jumbled Distribution", rappresenta un insieme di dati misti senza una chiara tendenza.

Esistono molti casi in cui la distribuzione dei punti dati tende a essere attorno a un valore centrale e quel grafico mostra una distribuzione normale perfetta, equamente bilanciata su entrambi i lati, con il maggior numero di punti dati concentrati al centro.

Ecco un set di dati perfetto, normalmente distribuito:

Il valore centrale qui è 50 (che ha il maggior numero di punti dati) e la distribuzione si assottiglia uniformemente verso valori finali estremi di 0 e 100 (che hanno il minor numero di punti dati). La distribuzione normale è simmetrica attorno al valore centrale con metà dei valori su ciascun lato.

Molti esempi di vita reale si adattano alla distribuzione della curva a campana:

• Lancia una moneta equa molte volte (diciamo 100 volte o più) e otterrai una distribuzione normale equilibrata di teste e code.
• Lancia una coppia di dadi equi molte volte (diciamo 100 volte o più) e il risultato sarà una distribuzione normale, equilibrata, centrata attorno al numero 7 e rastremata uniformemente verso valori estremi di 2 e 12.
• L'altezza degli individui in un gruppo di dimensioni considerevoli e i segni ottenuti dalle persone in una classe seguono entrambi i normali schemi di distribuzione.
• In finanza, cambiamenti nei valori di registro si presume che i tassi forex, gli indici dei prezzi e i prezzi delle azioni siano normalmente distribuiti.

Rischio e rendimento

Ogni investimento ha due aspetti: rischio e rendimento. Gli investitori cercano il minor rischio possibile per il massimo rendimento possibile. La distribuzione normale quantifica questi due aspetti in base alla media dei rendimenti e alla deviazione standard per il rischio. (Per ulteriori informazioni, consultare "Analisi della varianza media".)

Valore medio o atteso

Una variazione media particolare del prezzo di un'azione potrebbe essere dell'1, 5% su base giornaliera, il che significa che, in media, aumenta dell'1, 5%. Questo valore medio o valore atteso che indica il rendimento può essere ottenuto calcolando la media su un set di dati abbastanza grande contenente variazioni storiche giornaliere dei prezzi di tale stock. Più alta è la media, meglio è.

Deviazione standard

La deviazione standard indica la quantità di deviazione media dei valori dalla media. Maggiore è la deviazione standard, più rischioso è l'investimento, poiché comporta maggiore incertezza.

Ecco una rappresentazione grafica dello stesso:

Pertanto, la rappresentazione grafica della distribuzione normale attraverso la sua media e deviazione standard consente la rappresentazione di rendimenti e rischi in un intervallo chiaramente definito.

Aiuta a sapere (e ad essere certi con certezza) che se alcuni insiemi di dati seguono il normale modello di distribuzione, la sua media ci permetterà di sapere quali ritorni aspettarsi e la sua deviazione standard ci permetterà di sapere che circa il 68% dei valori sarà entro 1 deviazione standard, il 95% entro 2 deviazioni standard e il 99% dei valori rientrerà in 3 deviazioni standard. Un set di dati che ha una media di 1, 5 e una deviazione standard di 1 è molto più rischioso di un altro set di dati con una media di 1, 5 e una deviazione standard di 0, 1.

Conoscere questi valori per ciascuna attività selezionata (azioni, obbligazioni e fondi) renderà l'investitore consapevole dei rendimenti e dei rischi previsti.

È facile applicare questo concetto e rappresentare il rischio e il rendimento di un singolo titolo, obbligazione o fondo. Ma questo può essere esteso a un portafoglio di più risorse ">

Gli individui iniziano a fare trading acquistando un singolo titolo o obbligazione o investendo in un fondo comune. A poco a poco, tendono ad aumentare le loro partecipazioni e acquistare più azioni, fondi o altre attività, creando così un portafoglio. In questo scenario incrementale, gli individui costruiscono i loro portafogli senza una strategia o molta riflessione. I gestori di fondi professionali, i trader e i market maker seguono un metodo sistematico per costruire il loro portafoglio usando un approccio matematico chiamato moderna teoria del portafoglio (MPT) che si basa sul concetto di "distribuzione normale".

Teoria del portafoglio moderno

La moderna teoria del portafoglio (MPT) offre un approccio matematico sistematico che mira a massimizzare il rendimento atteso di un portafoglio per una determinata quantità di rischio di portafoglio selezionando le proporzioni di varie attività. In alternativa, offre anche di ridurre al minimo il rischio per un determinato livello di rendimento atteso.

Per raggiungere questo obiettivo, le attività da includere nel portafoglio non devono essere selezionate esclusivamente in base al loro merito individuale ma piuttosto al modo in cui ciascuna attività si comporterà rispetto alle altre attività in portafoglio.

In breve, MPT definisce come ottenere la migliore diversificazione del portafoglio per i migliori risultati possibili: rendimenti massimi per un livello accettabile di rischio o rischio minimo per un livello desiderato di rendimenti.

I mattoni

Il MPT fu un concetto così rivoluzionario quando fu introdotto che i suoi inventori vinsero un premio nobile. Questa teoria ha fornito con successo una formula matematica per guidare la diversificazione negli investimenti.

La diversificazione è una tecnica di gestione del rischio, che elimina il rischio di "tutte le uova in un paniere" investendo in azioni, settori o classi di attività non correlate. Idealmente, la performance positiva di un'attività nel portafoglio annullerà la performance negativa di altre attività.

Per ottenere il rendimento medio del portafoglio che ha n attività diverse, viene calcolata la combinazione ponderata proporzionale dei rendimenti delle attività costituenti.

A causa della natura dei calcoli statistici e della distribuzione normale, il rendimento complessivo del portafoglio (R _p ) è calcolato come:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {} w_iR_i Rp = Σwi Ri

La somma (∑), dove w è il peso proporzionale dell'attività i nel portafoglio, R è il rendimento (media) dell'attività i.

Il rischio di portafoglio (o deviazione standard) è una funzione delle correlazioni delle attività incluse, per tutte le coppie di attività (una rispetto all'altra nella coppia).

A causa della natura dei calcoli statistici e della distribuzione normale, il rischio di portafoglio complessivo (Std-dev) _p è calcolato come:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ begin {allineato} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {allineato} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)]

Qui, cor-cof è il coefficiente di correlazione tra i rendimenti delle attività i e j e sqrt è la radice quadrata.

Ciò si occupa della prestazione relativa di ciascun bene rispetto all'altro.

Sebbene ciò appaia matematicamente complesso, il semplice concetto applicato qui include non solo le deviazioni standard dei singoli asset, ma anche quelle correlate l'una rispetto all'altra.

Un buon esempio è disponibile qui presso l'Università di Washington.

Un rapido esempio di MPT

Come esperimento di pensiero, immaginiamo di essere un gestore di portafoglio a cui è stato dato il capitale e che ha il compito di quanto capitale dovrebbe essere allocato a due attività disponibili (A e B) in modo tale da massimizzare il rendimento atteso e ridurre il rischio.

Abbiamo anche i seguenti valori disponibili:

R _a = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Deviazione standard) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0.004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

A partire da un'allocazione pari a 50-50 per ogni attività A e B, R _{p viene} calcolato a 0, 115 e (Std-dev) _p arriva a 0, 1323. Un semplice confronto ci dice che per questo portafoglio di attività 2, sia il rendimento che il rischio sono a metà strada tra i singoli valori di ciascuna attività.

Tuttavia, il nostro obiettivo è migliorare il rendimento del portafoglio oltre la mera media delle singole attività e ridurre il rischio, in modo che sia inferiore a quello delle singole attività.

Prendiamo ora una posizione di allocazione di capitale 1, 5 nell'attività A e una posizione di allocazione di capitale -0, 5 nell'attività B. (Allocazione di capitale negativa significa accorciamento del fatto che lo stock e il capitale ricevuti vengono utilizzati per acquistare l'eccedenza dell'altra attività con allocazione di capitale positiva. in altre parole, stiamo cortocircuitando lo stock B per 0, 5 volte di capitale e utilizzandolo per acquistare lo stock A per un importo di 1, 5 volte il capitale.)

Usando questi valori, otteniamo R _p come 0.1604 e (Std-dev) _p come 0.4005.

Allo stesso modo, possiamo continuare a utilizzare pesi di allocazione diversi per l'asset A e B e arrivare a diversi set di Rp e (Std-dev) p. In base al rendimento desiderato (Rp), si può scegliere il livello di rischio più accettabile (std-dev) p. In alternativa, per il livello di rischio desiderato, è possibile selezionare il miglior rendimento di portafoglio disponibile. In entrambi i casi, attraverso questo modello matematico della teoria del portafoglio, è possibile raggiungere l'obiettivo di creare un portafoglio efficiente con la combinazione desiderata di rischio e rendimento.

L'uso di strumenti automatizzati consente di rilevare facilmente e senza difficoltà le migliori proporzioni allocate possibili, senza la necessità di lunghi calcoli manuali.

La frontiera efficiente, il Capital Asset Pricing Model (CAPM) e il prezzo delle attività che utilizzano MPT si evolvono anche dallo stesso modello di distribuzione normale e sono un'estensione di MPT.

Sfide per la MPT (e la sottostante distribuzione normale)

Sfortunatamente, nessun modello matematico è perfetto e ognuno ha inadeguatezze e limitazioni.

L'ipotesi di base secondo cui i rendimenti dei corsi azionari seguono la normale distribuzione stessa viene messa in discussione più volte. Esistono prove empiriche sufficienti dei casi in cui i valori non riescono ad aderire alla distribuzione normale assunta. Basare modelli complessi su tali ipotesi può portare a risultati con grandi deviazioni.

Andando oltre nel MPT, i calcoli e le ipotesi sul coefficiente di correlazione e sulla covarianza rimanenti fissi (sulla base di dati storici) potrebbero non necessariamente valere per i valori futuri attesi. Ad esempio, i mercati obbligazionari e azionari hanno mostrato una perfetta correlazione nel mercato britannico nel periodo 2001-2004, in cui i rendimenti di entrambe le attività sono diminuiti contemporaneamente. In realtà, è stato osservato il contrario per lunghi periodi storici precedenti al 2001.

Il comportamento degli investitori non è preso in considerazione in questo modello matematico. Le tasse e i costi di transazione sono trascurati, anche se si presume l'allocazione frazionaria del capitale e la possibilità di mettere in corto circuito le attività.

In realtà, nessuna di queste ipotesi può essere vera, il che significa che i rendimenti finanziari realizzati possono differire significativamente dai profitti previsti.

La linea di fondo

I modelli matematici forniscono un buon meccanismo per quantificare alcune variabili con numeri singoli e tracciabili. Ma a causa delle limitazioni delle ipotesi, i modelli potrebbero fallire.

La distribuzione normale, che costituisce la base della teoria del portafoglio, potrebbe non necessariamente applicarsi alle azioni e ad altri modelli di prezzo delle attività finanziarie. La teoria del portafoglio in sé ha molte ipotesi che dovrebbero essere esaminate criticamente, prima di prendere importanti decisioni finanziarie.