Esplorazione della media mobile esponenzialmente ponderata
La volatilità è la misura di rischio più comune, ma è disponibile in diversi modi. In un precedente articolo, abbiamo mostrato come calcolare la volatilità storica semplice. In questo articolo, miglioreremo la volatilità semplice e discuteremo della media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA).
Volatilità storica vs. implicita
Innanzitutto, mettiamo questa metrica in un po 'di prospettiva. Esistono due approcci generali: volatilità storica e implicita (o implicita). L'approccio storico presuppone che il passato sia prologo; misuriamo la storia nella speranza che sia predittiva. La volatilità implicita, d'altra parte, ignora la storia; risolve per la volatilità implicita nei prezzi di mercato. Spera che il mercato conosca meglio e che il prezzo di mercato contenga, anche se implicitamente, una stima del consenso sulla volatilità.
Se ci concentriamo solo sui tre approcci storici (a sinistra in alto), hanno due passaggi in comune:
- Calcola la serie di rendimenti periodici
- Applicare uno schema di ponderazione
Innanzitutto, calcoliamo il rendimento periodico. In genere si tratta di una serie di rendimenti giornalieri in cui ogni rendimento è espresso in termini continuamente composti. Per ogni giorno, prendiamo il registro naturale del rapporto tra i prezzi delle azioni (cioè, il prezzo oggi diviso per il prezzo ieri e così via).
ui = lnsisi − 1where: ui = return on day isi = prezzo delle azioni nel giorno isi − 1 = prezzo delle azioni il giorno prima del giorno i \ begin {allineato} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {dove:} \\ & u_i = \ text {return on day} i \\ & s_i = \ text {prezzo delle azioni nel giorno} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {prezzo delle azioni il giorno prima del giorno} i \\ \ end {allineato} ui = lnsi − 1 si dove: ui = ritorno al giorno isi = prezzo del giorno isi − 1 = prezzo del giorno prima del giorno i
Questo produce una serie di rendimenti giornalieri, da te a seconda del numero di giorni (m = giorni) che stiamo misurando.
Questo ci porta al secondo passo: è qui che differiscono i tre approcci. Nel precedente articolo, abbiamo mostrato che sotto un paio di semplificazioni accettabili, la semplice varianza è la media dei rendimenti al quadrato:
varianza = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 dove: m = numero di giorni misurati = dayiu = differenza di rendimento dal rendimento medio \ inizio {allineato} & \ text {varianza} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {dove:} \\ & m = \ text {numero di giorni misurati} \\ & n = \ text {giorno} i \\ & u = \ text {differenza di rendimento dal rendimento medio} \\ \ end {allineato} varianza = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 dove: m = numero di giorni misuratin = dayiu = differenza di rendimento dal rendimento medio
Si noti che ciò somma ciascuno dei rendimenti periodici, quindi divide tale totale per il numero di giorni o osservazioni (m). Quindi, è davvero solo una media dei rendimenti periodici al quadrato. Detto in altro modo, ad ogni ritorno al quadrato viene assegnato lo stesso peso. Quindi se l'alfa (a) è un fattore di ponderazione (in particolare, a = 1 / m), allora una semplice varianza è simile a questa:
EWMA migliora la varianza semplice
Il punto debole di questo approccio è che tutti i rendimenti guadagnano lo stesso peso. Il rendimento (molto recente) di ieri non ha più influenza sulla varianza rispetto al rendimento del mese scorso. Questo problema viene risolto utilizzando la media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA), in cui i rendimenti più recenti hanno un peso maggiore sulla varianza.
La media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA) introduce lambda, che è chiamato parametro di smoothing. Lambda deve essere inferiore a uno. In tale condizione, anziché pesi uguali, ogni ritorno al quadrato è ponderato da un moltiplicatore come segue:
Ad esempio, RiskMetrics TM , una società di gestione dei rischi finanziari, tende a utilizzare un lambda dello 0, 94, ovvero del 94%. In questo caso, il primo (più recente) ritorno periodico quadrato è ponderato per (1-0, 94) (. 94) 0 = 6%. Il prossimo ritorno al quadrato è semplicemente un lambda multiplo del peso precedente; in questo caso il 6% moltiplicato per il 94% = 5, 64%. E il peso del terzo giorno precedente è uguale a (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Questo è il significato di "esponenziale" in EWMA: ogni peso è un moltiplicatore costante (cioè lambda, che deve essere inferiore a uno) del peso del giorno precedente. Ciò garantisce una varianza ponderata o distorta rispetto ai dati più recenti. La differenza tra la semplice volatilità e EWMA per Google è mostrata di seguito.
La volatilità semplice pesa effettivamente ogni rendimento periodico dello 0, 196%, come mostrato nella colonna O (abbiamo avuto due anni di dati giornalieri sui prezzi delle azioni. Si tratta di 509 rendimenti giornalieri e 1/509 = 0, 196%). Si noti che la colonna P assegna un peso del 6%, quindi del 5, 64%, quindi del 5, 3% e così via. Questa è l'unica differenza tra varianza semplice ed EWMA.
Ricorda: dopo aver sommato l'intera serie (nella colonna Q) abbiamo la varianza, che è il quadrato della deviazione standard. Se vogliamo volatilità, dobbiamo ricordare di prendere la radice quadrata di quella varianza.
Qual è la differenza nella volatilità giornaliera tra la varianza e l'EWMA nel caso di Google ">
La varianza di oggi è una funzione della varianza del giorno precedente
Noterai che dovevamo calcolare una lunga serie di pesi in calo esponenziale. Non faremo la matematica qui, ma una delle migliori caratteristiche di EWMA è che l'intera serie si riduce convenientemente a una formula ricorsiva:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 dove: λ = grado di diminuzione della ponderazioneσ2 = valore al periodo di tempo nu2 = valore di EWMA al periodo di tempo n \ inizio {allineato} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ lambda = \ text {il grado di diminuzione della ponderazione} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {valore nel periodo di tempo} n \\ & u ^ 2 = \ text {valore di EWMA nel periodo di tempo} n \\ \ end {allineato} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 dove: λ = grado di riduzione ponderazioneσ2 = valore nel periodo di tempo nu2 = valore di EWMA nel periodo di tempo n
Ricorsivo significa che i riferimenti di varianza di oggi (cioè è una funzione della varianza del giorno precedente). Puoi trovare questa formula anche nel foglio di calcolo e produce esattamente lo stesso risultato del calcolo a mano lunga! Dice: la varianza di oggi (sotto EWMA) equivale alla varianza di ieri (ponderata da lambda) più il ritorno al quadrato di ieri (pesato da uno meno lambda). Notate come stiamo solo sommando due termini insieme: la varianza ponderata di ieri e il ritorno al quadrato ponderato di ieri.
Anche così, lambda è il nostro parametro di smoothing. Un lambda più elevato (ad esempio, come il 94% di RiskMetric) indica un decadimento più lento nella serie - in termini relativi, avremo più punti dati nella serie e "caderanno" più lentamente. D'altra parte, se riduciamo la lambda, indichiamo un decadimento più elevato: i pesi cadono più rapidamente e, come risultato diretto del rapido decadimento, vengono utilizzati meno punti dati. (Nel foglio di calcolo, lambda è un input, quindi puoi sperimentare con la sua sensibilità).
Sommario
La volatilità è la deviazione standard istantanea di un titolo e la metrica di rischio più comune. È anche la radice quadrata della varianza. Possiamo misurare la varianza storicamente o implicitamente (volatilità implicita). Quando si misura storicamente, il metodo più semplice è la varianza semplice. Ma la debolezza con una varianza semplice è che tutti i rendimenti hanno lo stesso peso. Quindi affrontiamo un classico compromesso: vogliamo sempre più dati ma più dati abbiamo più il nostro calcolo viene diluito da dati distanti (meno rilevanti). La media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA) migliora la varianza semplice assegnando pesi ai rendimenti periodici. In questo modo, possiamo entrambi utilizzare un campione di grandi dimensioni ma anche dare maggiore peso ai rendimenti più recenti.