Somma dei quadrati

Qual è la somma dei quadrati?

La somma dei quadrati è una tecnica statistica utilizzata nell'analisi di regressione per determinare la dispersione dei punti dati. In un'analisi di regressione, l'obiettivo è determinare in che misura una serie di dati può essere adattata a una funzione che potrebbe aiutare a spiegare come sono state generate le serie di dati. La somma dei quadrati viene utilizzata come metodo matematico per trovare la funzione che si adatta meglio (varia meno) dai dati.

La formula per la somma dei quadrati è

Per un insieme X di n elementi: Somma dei quadrati = ∑i = 0n (Xi − X‾) 2where: Xi = L'elemento con il setX‾ = La media di tutti gli elementi nel set (Xi − X‾) = La deviazione di ciascun elemento dalla media \ begin {allineato} & \ text {Per un set} X \ text {di} n \ text {articoli:} \\ & \ text {Somma dei quadrati} = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ left (X_i- \ overline {X} \ right) ^ 2 \\ & \ textbf {dove:} \\ & X_i = \ text {The} i ^ {th} \ text {nella voce set} \\ & \ overline {X} = \ text {La media di tutti gli elementi nel set} \\ & \ left (X_i- \ overline {X} \ right) = \ text {La deviazione di ogni elemento dal mean} \\ \ end {allineato} Per un insieme X di n elementi: Somma dei quadrati = i = 0∑n (Xi −X) 2 dove: Xi = L'elemento ith nel setX = La media di tutti items in the set (Xi −X) = La deviazione di ogni elemento dalla media

La somma dei quadrati è anche nota come variazione.

Cosa ti dice la somma dei quadrati?

La somma dei quadrati è una misura della deviazione dalla media. In statistica, la media è la media di un insieme di numeri ed è la misura più comunemente usata della tendenza centrale. La media aritmetica viene semplicemente calcolata sommando i valori nel set di dati e dividendo per il numero di valori.

Supponiamo che i prezzi di chiusura di Microsoft (MSFT) negli ultimi cinque giorni siano stati di 74, 01, 74, 77, 73, 94, 73, 61 e 73, 40 in dollari USA. La somma dei prezzi totali è di $ 369, 73 e il prezzo medio o medio del libro di testo sarebbe quindi di $ 369, 73 / 5 = $ 73, 95.

Ma conoscere la media di un set di misure non è sempre sufficiente. A volte, è utile sapere quanta variazione ci sia in una serie di misurazioni. Quanto distanti i singoli valori dalla media possono dare un'idea di come le osservazioni o i valori siano adeguati al modello di regressione che viene creato.

Ad esempio, se un analista voleva sapere se il prezzo delle azioni di MSFT si muove in parallelo con il prezzo di Apple (AAPL), può elencare l'insieme di osservazioni per il processo di entrambe le azioni per un certo periodo, diciamo 1, 2 o 10 anni e crea un modello lineare con ciascuna delle osservazioni o misurazioni registrate. Se la relazione tra entrambe le variabili (ovvero, il prezzo di AAPL e il prezzo di MSFT) non è una linea retta, allora ci sono variazioni nel set di dati che devono essere esaminate.

Nelle statistiche parlano, se la linea nel modello lineare creato non passa attraverso tutte le misurazioni di valore, allora una parte della variabilità osservata nei corsi azionari è inspiegabile. La somma dei quadrati viene utilizzata per calcolare se esiste una relazione lineare tra due variabili e ogni variabilità inspiegabile viene definita somma residua dei quadrati.

La somma dei quadrati è la somma del quadrato di variazione, in cui la variazione è definita come lo spread tra ogni singolo valore e la media. Per determinare la somma dei quadrati, la distanza tra ciascun punto dati e la linea di adattamento migliore viene quadrata e quindi sommata. La linea di miglior adattamento minimizzerà questo valore.

Come calcolare la somma dei quadrati

Ora puoi vedere perché la misurazione è chiamata somma delle deviazioni quadrate o in breve la somma dei quadrati. Utilizzando il nostro esempio MSFT sopra, la somma dei quadrati può essere calcolata come:

• SS = (74.01 - 73.95) ² + (74.77 - 73.95) ² + (73.94 - 73.95) ² + (73.61 - 73.95) ² + (73.40 - 73.95) ²
• SS = (0, 06) ² + (0, 82) ² + (-0, 01) ² + (-0, 34) ² + (-0, 55) ²
• SS = 1.0942

L'aggiunta della somma delle deviazioni da sola senza quadratura comporterà un numero uguale o vicino a zero poiché le deviazioni negative compenseranno quasi perfettamente le deviazioni positive. Per ottenere un numero più realistico, la somma delle deviazioni deve essere quadrata. La somma dei quadrati sarà sempre un numero positivo perché il quadrato di qualsiasi numero, positivo o negativo, è sempre positivo.

Esempio di come utilizzare la somma dei quadrati

Sulla base dei risultati del calcolo MSFT, un'alta somma di quadrati indica che la maggior parte dei valori sono più lontani dalla media e, quindi, c'è una grande variabilità nei dati. Una bassa somma di quadrati si riferisce alla bassa variabilità nell'insieme delle osservazioni.

Nell'esempio sopra, 1.0942 mostra che la variabilità del prezzo delle azioni di MSFT negli ultimi cinque giorni è molto bassa e gli investitori che desiderano investire in azioni caratterizzate da stabilità dei prezzi e bassa volatilità possono optare per MSFT.

Key Takeaways

• La somma dei quadrati misura la deviazione dei punti dati dal valore medio.
• Un risultato di somma dei quadrati più elevato indica un ampio grado di variabilità all'interno del set di dati, mentre un risultato più basso indica che i dati variano considerevolmente dal valore medio.

Limitazioni dell'uso della somma dei quadrati

Prendere una decisione di investimento su quale titolo acquistare richiede molte più osservazioni rispetto a quelle elencate qui. Un analista potrebbe dover lavorare con anni di dati per sapere con maggiore certezza quanto sia alta o bassa la variabilità di una risorsa. Man mano che vengono aggiunti più punti dati all'insieme, la somma dei quadrati diventa maggiore man mano che i valori saranno più distribuiti.

Le misure di variazione più utilizzate sono la deviazione standard e la varianza. Tuttavia, per calcolare una delle due metriche, è innanzitutto necessario calcolare la somma dei quadrati. La varianza è la media della somma dei quadrati (cioè la somma dei quadrati divisa per il numero di osservazioni). La deviazione standard è la radice quadrata della varianza.

Esistono due metodi di analisi di regressione che utilizzano la somma dei quadrati: il metodo dei minimi quadrati lineari e il metodo dei minimi quadrati non lineari. Il metodo dei minimi quadrati si riferisce al fatto che la funzione di regressione minimizza la somma dei quadrati della varianza dai punti dati effettivi. In questo modo, è possibile disegnare una funzione che statisticamente fornisce la soluzione migliore per i dati. Si noti che una funzione di regressione può essere lineare (una linea retta) o non lineare (una linea curva).

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