Definizione del teorema di Bayes
Il teorema di Bayes, dal nome del matematico britannico Thomas Bayes del XVIII secolo, è una formula matematica per determinare la probabilità condizionata. Il teorema fornisce un modo per rivedere predizioni o teorie esistenti (probabilità di aggiornamento) date prove nuove o aggiuntive. Nella finanza, il teorema di Bayes può essere usato per valutare il rischio di prestare denaro a potenziali mutuatari.
Il teorema di Bayes è anche chiamato regola di Bayes o legge di Bayes ed è il fondamento del campo delle statistiche bayesiane.
Key Takeaways
- Il teorema di Bayes ti consente di aggiornare le probabilità previste di un evento incorporando nuove informazioni.
- Il teorema di Bayes prende il nome dal matematico del XVIII secolo Thomas Bayes.
- Viene spesso impiegato in ambito finanziario nell'aggiornamento della valutazione del rischio.
La formula per il teorema di Bayes è
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) dove: P (A) = La probabilità che A si verifichi P (B) = La probabilità che B si verifichi P (A∣B) = La probabilità di A dato BP (B∣A) = La probabilità di B dato AP (A⋂B)) = La probabilità che si verifichino A e B \ inizio {allineato} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ sinistra (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ sinistra (B \ right)} = \ frac {P \ sinistra (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {dove:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {La probabilità che si verifichi A} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {La probabilità che si verifichi B} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {La probabilità di A dato B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {Probabilità di B dato A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {Probabilità che si verifichino A e B} \\ \ end {align} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) dove: P (A) = La probabilità che A si verifichi P (B) = Il probabilità che B si verifichi P (A∣B) = probabilità di A dato BP (B∣A) = probabilità di B dato AP (A⋂B)) = probabilità che si verifichino A e B
Spiegazione del teorema di Bayes
Le applicazioni del teorema sono diffuse e non limitate al regno finanziario. Ad esempio, il teorema di Bayes può essere utilizzato per determinare l'accuratezza dei risultati dei test medici prendendo in considerazione la probabilità che una determinata persona abbia una malattia e l'accuratezza generale del test. Il teorema di Bayes si basa sull'incorporazione di precedenti distribuzioni di probabilità al fine di generare probabilità posteriori. La probabilità precedente, nell'inferenza statistica bayesiana, è la probabilità di un evento prima che vengano raccolti nuovi dati. Questa è la migliore valutazione razionale della probabilità di un risultato in base alle conoscenze attuali prima dell'esecuzione di un esperimento. La probabilità posteriore è la probabilità rivista di un evento che si verifica dopo aver preso in considerazione nuove informazioni. La probabilità posteriore viene calcolata aggiornando la probabilità precedente usando il teorema di Bayes. In termini statistici, la probabilità posteriore è la probabilità che si verifichi l'evento A dato che si è verificato l'evento B.
Il teorema di Bayes fornisce quindi la probabilità di un evento in base a nuove informazioni che sono, o potrebbero essere correlate, a quell'evento. La formula può anche essere utilizzata per vedere in che modo la probabilità che si verifichi un evento è influenzata da nuove informazioni ipotetiche, supponendo che le nuove informazioni diventeranno vere. Ad esempio, supponiamo che una singola carta sia pescata da un mazzo completo di 52 carte. La probabilità che la carta sia un re è 4 divisa per 52, che equivale a 1/13 o circa 7, 69%. Ricorda che ci sono 4 re nel mazzo. Supponiamo ora che venga rivelato che la carta selezionata è una carta scoperta. La probabilità che la carta selezionata sia un re, dato che è una carta faccia, è 4 divisa per 12, o circa il 33, 3%, poiché ci sono 12 carte faccia in un mazzo.
Derivazione della formula del teorema di Bayes con un esempio
Il teorema di Bayes segue semplicemente gli assiomi della probabilità condizionale. Probabilità condizionale è la probabilità di un evento dato che si è verificato un altro evento. Ad esempio, una semplice domanda di probabilità può chiedere: "Qual è la probabilità di caduta del prezzo delle azioni Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN)?" La probabilità condizionale fa un ulteriore passo avanti chiedendo: "Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni AMZN diminuisca, dato che l'indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) è sceso prima?"
La probabilità condizionale di A dato che B è avvenuta può essere espressa come:
Se A è: "Il prezzo di AMZN scende", allora P (AMZN) è la probabilità che AMZN diminuisca; e B è: "DJIA è già inattivo" e P (DJIA) è la probabilità che il DJIA sia caduto; quindi l'espressione di probabilità condizionale si legge come "la probabilità che AMZN diminuisca a causa di un declino del DJIA è uguale alla probabilità che il prezzo di AMZN diminuisca e DJIA diminuisca rispetto alla probabilità di una riduzione dell'indice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN e DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN e DJIA) è la probabilità che si verifichino sia A che B. Questo è anche uguale alla probabilità che si verifichi A moltiplicata per la probabilità che B si verifichi dato che si verifica A, espresso come P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Il fatto che queste due espressioni siano uguali porta al teorema di Bayes, che è scritto come:
if, P (AMZN e DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
quindi, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Dove P (AMZN) e P (DJIA) sono le probabilità di caduta di Amazon e Dow Jones, indipendentemente l'una dall'altra.
La formula spiega la relazione tra la probabilità dell'ipotesi prima di vedere l'evidenza che P (AMZN) e la probabilità dell'ipotesi dopo aver ottenuto l'evidenza P (AMZN | DJIA), data un'ipotesi per Amazon data l'evidenza nel Dow.
Esempio numerico di teorema di Bayes
A titolo di esempio numerico, immagina che esista un test antidroga accurato al 98%, il che significa che il 98% delle volte mostra un vero risultato positivo per chi usa il farmaco e il 98% delle volte mostra un vero risultato negativo per i non utilizzatori droga. Successivamente, supponiamo che lo 0, 5% delle persone usi il farmaco. Se una persona selezionata a test casuali risulta positiva per il farmaco, è possibile effettuare il seguente calcolo per vedere se la probabilità che la persona sia effettivamente un utilizzatore del farmaco.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Il teorema di Bayes mostra che anche se una persona è risultata positiva in questo scenario, in realtà è molto più probabile che la persona non sia un utilizzatore del farmaco.
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