Abbattere il modello binomiale per valutare un'opzione

Nel mondo finanziario, i Black-Scholes e i modelli di valutazione delle opzioni binomiali sono due dei concetti più importanti nella moderna teoria finanziaria. Entrambi sono usati per valutare un'opzione e ognuno ha i suoi vantaggi e svantaggi.

Alcuni dei vantaggi di base dell'utilizzo del modello binomiale sono:

• una vista a più periodi
• trasparenza
• capacità di incorporare le probabilità

In questo articolo, esploreremo i vantaggi dell'utilizzo del modello binomiale anziché del modello Black-Scholes e forniremo alcuni passaggi di base per sviluppare il modello e spiegare come viene utilizzato.

Vista a più periodi

Il modello binomiale fornisce una visione multi-periodo del prezzo dell'attività sottostante e del prezzo dell'opzione. Contrariamente al modello di Black-Scholes, che fornisce un risultato numerico basato su input, il modello binomiale consente il calcolo del bene e l'opzione per più periodi insieme alla gamma di possibili risultati per ciascun periodo (vedi sotto).

Il vantaggio di questa visione multi-periodo è che l'utente può visualizzare la variazione del prezzo delle attività da un periodo all'altro e valutare l'opzione in base alle decisioni prese in diversi momenti. Per un'opzione con sede negli Stati Uniti, che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della data di scadenza, il modello binomiale può fornire indicazioni su quando esercitare l'opzione può essere consigliata e quando deve essere mantenuta per periodi più lunghi. Osservando l'albero binomiale dei valori, un trader può determinare in anticipo quando può verificarsi una decisione su un esercizio. Se l'opzione ha un valore positivo, c'è la possibilità di esercitare mentre, se l'opzione ha un valore inferiore a zero, dovrebbe essere mantenuta per periodi più lunghi.

Trasparenza

Strettamente correlata alla revisione pluriennale è la capacità del modello binomiale di fornire trasparenza sul valore sottostante dell'attività e l'opzione con il passare del tempo. Il modello Black-Scholes ha cinque input:

1. Il tasso privo di rischio
2. Il prezzo di esercizio
3. Il prezzo corrente dell'attività
4. Tempo alla maturità
5. La volatilità implicita del prezzo delle attività

Quando questi punti dati vengono inseriti in un modello di Black-Scholes, il modello calcola un valore per l'opzione, ma gli impatti di questi fattori non vengono rivelati su base periodica. Con il modello binomiale, un operatore può vedere la variazione del prezzo dell'attività sottostante da un periodo all'altro e la corrispondente variazione del prezzo dell'opzione.

Incorporando le probabilità

Il metodo di base per calcolare il modello di opzione binomiale consiste nell'utilizzare la stessa probabilità ogni periodo per successo e fallimento fino alla scadenza dell'opzione. Tuttavia, un operatore può incorporare diverse probabilità per ciascun periodo in base a nuove informazioni ottenute col passare del tempo.

Ad esempio, potrebbe esserci una probabilità del 50/50 che il prezzo dell'attività sottostante possa aumentare o diminuire del 30 percento in un periodo. Per il secondo periodo, tuttavia, la probabilità che il prezzo delle attività sottostanti aumenti può aumentare a 70/30. Ad esempio, se un investitore sta valutando un pozzo di petrolio, quell'investitore non è sicuro di quale sia il valore di quel pozzo di petrolio, ma esiste una probabilità 50/50 che il prezzo salga. Se i prezzi del petrolio saliranno nel periodo 1, rendendo il petrolio ben più prezioso e i fondamentali del mercato ora indicano un continuo aumento dei prezzi del petrolio, la probabilità di un ulteriore apprezzamento del prezzo potrebbe ora essere del 70 percento. Il modello binomiale consente questa flessibilità; il modello Black-Scholes no.

Sviluppare il modello

Il modello binomiale più semplice avrà due rendimenti attesi le cui probabilità si sommano al 100 percento. Nel nostro esempio, ci sono due possibili esiti per il pozzo di petrolio in ogni momento. Una versione più complessa potrebbe avere tre o più esiti diversi, ognuno dei quali ha una probabilità di accadimento.

Per calcolare i rendimenti per periodo a partire dal tempo zero (ora), dobbiamo fare una determinazione del valore dell'attività sottostante tra un periodo da adesso. In questo esempio, assumiamo quanto segue:

• Prezzo dell'attività sottostante (P): $ 500
• Prezzo di esercizio dell'opzione call (K): $ 600
• Tasso privo di rischio per il periodo: 1 percento
• Variazione del prezzo per ogni periodo: 30 percento su o giù

Il prezzo dell'attività sottostante è di $ 500 e, nel Periodo 1, può valere $ 650 o $ 350. Sarebbe l'equivalente di un aumento o una diminuzione del 30 percento in un periodo. Poiché il prezzo di esercizio delle opzioni call in nostro possesso è $ 600, se l'attività sottostante risulta inferiore a $ 600, il valore dell'opzione call sarebbe zero. D'altra parte, se l'attività sottostante supera il prezzo di esercizio di $ 600, il valore dell'opzione call sarebbe la differenza tra il prezzo dell'attività sottostante e il prezzo di esercizio. La formula per questo calcolo è [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] dove: P = Prezzo dell'attività sottostanteK = Prezzo di esercizio opzione call \ inizio {allineato} & \ max {\ sinistra [\ sinistra (PK \ destra), 0 \ destra]} \ \ \\ & \ textbf {dove:} \\ & P = \ text {Prezzo dell'asset sottostante} \\ & K = \ text {Prezzo di esercizio dell'opzione call} \\ \ end {allineato} max [(P − K), 0] dove: P = Prezzo dell'attività sottostanteK = Prezzo di esercizio dell'opzione call

Supponiamo che ci sia una probabilità del 50% di salire e una probabilità del 50% di scendere. Utilizzando i valori del Periodo 1 come esempio, questo viene calcolato come

max [($ 650- $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ inizio {allineato} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0, 5+ \ max {\ left [\ left (\ $ 350 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0, 5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {allineato} max [($ 650- $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350- $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

Per ottenere il valore corrente dell'opzione call, dobbiamo scontare i $ 25 nel Periodo 1 al Periodo 0, che è

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ sinistra (1 + 1 \% \ destra) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

Ora puoi vedere che se le probabilità vengono modificate, anche il valore atteso dell'attività sottostante cambierà. Se la probabilità deve essere cambiata, può anche essere cambiata per ogni periodo successivo e non deve necessariamente rimanere la stessa per tutto.

Il modello binomiale può essere esteso facilmente a più periodi. Sebbene il modello di Black-Scholes sia in grado di calcolare il risultato di una data di scadenza estesa, il modello binomiale estende i punti di decisione a più periodi.

Utilizza per il modello binomiale

Oltre al suo utilizzo come metodo per il calcolo del valore di un'opzione, il modello binomiale può essere utilizzato anche per progetti o investimenti con un elevato grado di incertezza, decisioni in materia di capital budgeting e allocazione delle risorse e progetti con periodi multipli o un opzione incorporata per continuare o abbandonare il progetto in determinati momenti nel tempo.

Un semplice esempio è un progetto che prevede la perforazione di petrolio. L'incertezza di questo tipo di progetto se la terra che viene perforata ha del petrolio, la quantità di petrolio che può essere trivellata, se viene trovata, e il prezzo al quale il petrolio può essere venduto una volta estratto.

Il modello di opzione binomiale può aiutare a prendere decisioni in ogni punto del progetto di trivellazione petrolifera. Ad esempio, supponiamo che decidiamo di trivellare, ma il pozzo di petrolio sarà redditizio solo se troviamo abbastanza petrolio e il prezzo del petrolio supera un certo importo. Ci vorrà un periodo completo per determinare la quantità di petrolio che possiamo estrarre e il prezzo del petrolio in quel momento. Dopo il primo periodo (un anno, ad esempio), possiamo decidere in base a questi due punti dati se continuare a eseguire il drill o abbandonare il progetto. Queste decisioni possono essere prese continuamente fino a raggiungere un punto in cui non vi è alcun valore per la perforazione, a quel punto il pozzo verrà abbandonato.

La linea di fondo

Il modello binomiale offre una visione più dettagliata consentendo viste multi-periodo del prezzo dell'attività sottostante e del prezzo dell'opzione per più periodi, nonché la gamma di possibili risultati per ciascun periodo. Mentre sia il modello Black-Scholes che il modello binomiale possono essere utilizzati per valutare le opzioni, il modello binomiale ha una gamma più ampia di applicazioni, è più intuitivo ed è più facile da usare.