Calcolo del valore presente e futuro delle rendite

Ad un certo punto della tua vita, potresti aver dovuto pagare una serie di pagamenti fissi per un certo periodo di tempo, come ad esempio i pagamenti in affitto o in auto, o aver ricevuto una serie di pagamenti per un periodo di tempo, come interessi da obbligazioni o CDS. Questi sono chiamati rendite (un uso più generico della parola - da non confondere con il prodotto finanziario specifico chiamato rendita, sebbene i due siano correlati). Se capisci il valore nel tempo del denaro, sei pronto per conoscere le rendite e come vengono calcolati i loro valori presenti e futuri.

Che cosa sono le rendite?

Le rendite sono essenzialmente una serie di pagamenti fissi richiesti da te o pagati a una determinata frequenza nel corso di un periodo di tempo fisso. Le frequenze di pagamento possono essere annuali, semestrali (due volte l'anno), trimestrali e mensili. Esistono due tipi base di rendite: rendite ordinarie e rendite dovute.

• Rendita ordinaria: i pagamenti sono richiesti alla fine di ogni periodo. Ad esempio, le obbligazioni ordinarie di solito pagano cedole alla fine di ogni sei mesi fino alla data di scadenza delle obbligazioni.
• Rendita dovuta: i pagamenti sono richiesti all'inizio di ogni periodo. L'affitto è un esempio di rendita dovuta. Di solito ti viene richiesto di pagare l'affitto quando ti trasferisci per la prima volta all'inizio del mese e successivamente il primo di ogni mese successivo.

Poiché i calcoli del valore presente e futuro per le rendite ordinarie e le rendite dovute sono leggermente diversi, ne discuteremo separatamente.

Rendite ordinarie

Calcolo del valore futuro

Se sai quanto puoi investire per periodo per un determinato periodo di tempo, il valore futuro (FV) di una formula di rendita ordinaria è utile per scoprire quanto avresti in futuro. Se si stanno effettuando pagamenti su un prestito, il valore futuro è utile per determinare il costo totale del prestito. Se sai quanto prevedi di investire ogni anno e il tasso fisso di rendimento garantito dalle tue rendite o, per i prestiti, l'importo dei tuoi pagamenti e il tasso di interesse dato, puoi facilmente determinare il valore del tuo conto in qualsiasi momento il futuro.

Passiamo ora all'esempio 1. Considera il seguente programma di flusso di cassa di rendite:

Per calcolare il valore futuro dell'annualità, dobbiamo calcolare il valore futuro di ciascun flusso di cassa. Supponiamo che tu riceva $ 1.000 ogni anno per i prossimi cinque anni e investi ogni pagamento al 5% di interesse. Il diagramma seguente mostra quanto avresti alla fine del periodo di cinque anni:

Dato che dobbiamo aggiungere il valore futuro di ciascun pagamento, potresti aver notato che se hai una rendita ordinaria con molti flussi di cassa, ci vorrebbe molto tempo per calcolare tutti i valori futuri e quindi sommarli. Fortunatamente, la matematica fornisce una formula che funge da scorciatoia per trovare il valore accumulato di tutti i flussi di cassa ricevuti da una rendita ordinaria:

FVOrdinary Annuity = C × [(1 + i) n − 1i] dove: C = Flusso di cassa per periodi = Interessi raten = Numero di pagamenti \ inizio {allineato} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ text {C} = \ text {Flusso di cassa per periodo} \\ & i = \ text {Tasso di interesse} \\ & n = \ text {Numero di pagamenti} \\ \ end {allineato} Rendita ordinaria FV = C × [i (1 + i) n − 1] dove: C = flusso di cassa per periodi = tasso di interesse = numero di pagamenti

Usando la formula sopra per l'esempio 1 sopra, questo è il risultato:

FV rendita ordinaria = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ inizio {allineato} \ testo {FV} _ {\ text {Ordinario ~ rendita}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5, 53] \\ & = \ $ 5525, 63 \ end {allineato} Rendita ordinaria FV = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5.53]

Calcolo del valore attuale

Si noti che la differenza di un centesimo tra $ 5.525, 64 e $ 5.525, 63 è dovuta a un errore di arrotondamento nel primo calcolo. Ogni valore del primo calcolo deve essere arrotondato al penny più vicino: più devi arrotondare i numeri in un calcolo, più si verificheranno errori di arrotondamento. Pertanto, la formula di cui sopra non solo fornisce una scorciatoia per trovare l'FV di una rendita ordinaria, ma fornisce anche un risultato più accurato.

Il valore attuale di un'annualità è semplicemente il valore attuale di tutto il reddito generato da tale investimento in futuro. Questo calcolo si basa sul concetto del valore temporale del denaro, che afferma che un dollaro ora vale più di un dollaro guadagnato in futuro. Per questo motivo, i calcoli del valore attuale utilizzano il numero di periodi di tempo durante i quali viene generato il reddito per scontare il valore dei pagamenti futuri.

Se si desidera determinare il valore odierno di una serie futura di pagamento, è necessario utilizzare la formula che calcola il valore attuale (PV) di una rendita ordinaria. Questa è la formula che useresti come parte di un calcolo dei prezzi delle obbligazioni. Il PV di una rendita ordinaria calcola il valore attuale dei pagamenti delle cedole che riceverai in futuro.

Nell'esempio 2, utilizzeremo la stessa pianificazione del flusso di cassa delle rendite come nell'esempio 1. Per ottenere il valore totale scontato, dobbiamo prendere il valore attuale di ogni pagamento futuro e, come nell'esempio 1, aggiungere il flussi di cassa insieme.

Ancora una volta, il calcolo e l'aggiunta di tutti questi valori richiederà molto tempo, soprattutto se prevediamo molti pagamenti futuri. Sebbene numerosi calcolatori online possano determinare il valore attuale di una rendita, la formula per una rendita regolare non è eccessivamente complicata da calcolare a mano, se utilizziamo una scorciatoia matematica per PV di una rendita ordinaria.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

La formula ci fornisce il PV in pochi semplici passaggi. Ecco il calcolo dell'annualità rappresentata nel diagramma per l'esempio 2:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ inizio {allineato} \ testo {PV} _ {\ text {Ordinario ~ rendita}} & = \ $ 1000 \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ times [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ end {allineato} PV Rendita ordinaria = $ 1000 × [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4.33]

Calcolo del valore futuro

Quando si ricevono o si pagano flussi di cassa per una rendita dovuta, la pianificazione del flusso di cassa appare come segue:

Poiché ogni pagamento della serie viene effettuato prima di un periodo, dobbiamo scontare il periodo di formula uno indietro. Una leggera modifica alla formula di rendita FV ordinaria tiene conto dei pagamenti che si verificano all'inizio di ciascun periodo. Nell'esempio 3, illustriamo perché questa modifica è necessaria quando ogni pagamento di $ 1.000 viene effettuato all'inizio del periodo anziché alla fine (il tasso di interesse è ancora del 5%):

Si noti che quando i pagamenti vengono effettuati all'inizio del periodo, ciascun importo viene trattenuto più a lungo alla fine del periodo. Ad esempio, se i $ 1.000 fossero investiti il ​​1 ° gennaio anziché il 31 dicembre di ogni anno, l'ultimo pagamento prima di valutare il nostro investimento alla fine di cinque anni (il 31 dicembre) sarebbe stato effettuato un anno prima (1 gennaio) anziché lo stesso giorno in cui viene valutato. Il valore futuro della formula di rendita dovrebbe quindi leggere:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Perciò,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ inizio {allineato} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5, 53 \ times1, 05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ end { allineato} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Rendita dovuta

Calcolo del valore attuale

Per il valore attuale di una formula di rendita dovuta, dobbiamo attualizzare il periodo di formula uno in avanti poiché i pagamenti vengono mantenuti per un periodo di tempo più breve. Nel calcolare il valore attuale, assumiamo che il primo pagamento sia stato effettuato oggi.

Potremmo utilizzare questa formula per calcolare il valore attuale dei pagamenti futuri dell'affitto come specificato in un contratto di locazione firmato con il proprietario. Supponiamo che tu effettui il primo pagamento dell'affitto (vedi Esempio 4, di seguito) all'inizio del mese e stai valutando il valore attuale del tuo contratto di locazione di cinque mesi nello stesso giorno. Il calcolo del valore attuale funzionerebbe come segue:

Naturalmente, possiamo usare un collegamento di formula per calcolare il valore attuale di una rendita dovuta:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Perciò,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ inizio {allineato} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ volte \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ $ 4545, 95 \ end {allineato} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Ricordiamo che il valore attuale di una rendita ordinaria ha restituito un valore di $ 4.329, 48. Il valore attuale di una rendita ordinaria è inferiore a quello di una rendita dovuta perché più indietro scontiamo un pagamento futuro, più basso è il suo valore attuale - ogni pagamento o flusso di cassa in una rendita ordinaria avviene un periodo più avanti nel futuro.

Il valore nel tempo del denaro

Il calcolo del valore futuro si basa sul concetto del valore temporale del denaro. Questo significa semplicemente che un dollaro guadagnato oggi vale più di un dollaro guadagnato domani perché i fondi che controlli ora possono essere investiti e guadagnare interessi nel tempo. Pertanto, il valore futuro di un'annualità è maggiore della somma di tutti i tuoi investimenti perché tali contributi hanno accumulato interesse nel tempo. Ad esempio, il valore futuro di $ 1.000 investiti oggi al 10% di interesse è di $ 1.100 tra un anno. Un singolo dollaro oggi vale $ 1, 10 in un anno a causa del valore del denaro nel tempo.

Supponi di effettuare pagamenti annuali di $ 5.000 per la tua rendita ordinaria per 15 anni. Guadagna il 9% di interesse, composto annualmente.

FV = $ 5.000 × {((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0.09 \ inizio {allineato} FV & = \ $ 5.000 \ volte \ {((((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5.000 \ volte \ {(((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ $ 5.000 \ times 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5.000 \ times \ $ 146.804, 58 \ end {allineato} FV = $ 5.000 × {((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0, 09

Senza il potere dell'interesse composto, la tua serie di contributi da $ 5.000 vale solo $ 75.000 alla fine di 15 anni. Invece, con interesse composto, il valore futuro della tua rendita è quasi il doppio di $ 146.804, 58.

Per calcolare il valore futuro di un'annualità dovuta, è sufficiente moltiplicare il valore futuro ordinario per 1+ i (il tasso di interesse). Nell'esempio sopra, il valore futuro di un'annualità dovuta con gli stessi parametri è semplicemente $ 146.804, 58 x (1 + 0, 09) o $ 160.016, 99.

Considerazioni sul valore attuale

Quando si calcola il valore attuale di un'annualità, è importante che tutte le variabili siano coerenti. Se la rendita genera pagamenti annuali, ad esempio, anche il tasso di interesse deve essere espresso come tasso annuale. Se la rendita genera pagamenti mensili, ad esempio, anche il tasso di interesse deve essere espresso come tasso mensile.

Supponiamo che un'annualità abbia un tasso di interesse del 10% che genera pagamenti annuali di $ 3.000 per i prossimi 15 anni. Il valore attuale di questa rendita è:

= $ 3.000 × (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760, 608 mila ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60, 608 mila \ begin {allineati } & = \ $ 3.000 \ times (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ volte (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ volte 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ end {allineato} = $ 3.000 × ((((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = $ 3.000 × ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760, 608 mila ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60, 608 mila

Valore attuale di una rendita

La linea di fondo

Ora puoi vedere come le rendite influenzano il modo in cui calcoli il valore presente e futuro di qualsiasi importo di denaro. Ricorda che le frequenze di pagamento, o il numero di pagamenti, e l'ora in cui vengono effettuati questi pagamenti (all'inizio o alla fine di ciascun periodo di pagamento) sono tutte variabili di cui devi tenere conto nei tuoi calcoli.

Quando si pianifica la pensione, è importante avere una buona idea di quante entrate si può fare affidamento ogni anno. Mentre può essere relativamente facile tenere traccia di quanto investi in piani pensionistici sponsorizzati dal datore di lavoro, conti pensionistici individuali (IRA) e rendite, non è sempre così facile sapere quanto uscirai. Fortunatamente, quando si tratta di rendite o piani a tasso fisso investiti in titoli a tasso fisso, esiste un modo semplice per calcolare quanti soldi ci si può aspettare di avere a disposizione dopo il pensionamento in base a quanto si mette nel conto durante gli anni lavorativi .