Modello di prezzo delle opzioni binomiali
Il modello di prezzi delle opzioni binomiali è un metodo di valutazione delle opzioni sviluppato nel 1979. Il modello di prezzi delle opzioni binomiali utilizza una procedura iterativa, che consente di specificare nodi o punti nel tempo, nell'intervallo di tempo tra la data di valutazione e la data di scadenza dell'opzione.
Key Takeaways
- Il modello di prezzi delle opzioni binomiali valuta le opzioni usando un approccio iterativo che utilizza più periodi per valutare le opzioni americane.
- Con il modello, ci sono due possibili esiti con ogni iterazione: uno spostamento verso l'alto o uno verso il basso che seguono un albero binomiale.
- Il modello è intuitivo e viene utilizzato più frequentemente in pratica rispetto al noto modello Black-Scholes.
Il modello riduce le possibilità di variazioni di prezzo e rimuove la possibilità di arbitraggio. Un esempio semplificato di un albero binomiale potrebbe assomigliare a questo:
Nozioni di base sul modello dei prezzi delle opzioni binomiali
Con i modelli di prezzo delle opzioni binomiali, i presupposti sono che ci sono due possibili esiti, quindi la parte binomiale del modello. Con un modello di determinazione dei prezzi, i due risultati sono un aumento o un calo. Il principale vantaggio di un modello di prezzi delle opzioni binomiali è che sono matematicamente semplici. Tuttavia, questi modelli possono diventare complessi in un modello multi-periodo.
Contrariamente al modello di Black-Scholes, che fornisce un risultato numerico basato su input, il modello binomiale consente il calcolo del bene e l'opzione per più periodi insieme alla gamma di possibili risultati per ciascun periodo (vedi sotto).
Il vantaggio di questa visione multi-periodo è che l'utente può visualizzare la variazione del prezzo delle attività da un periodo all'altro e valutare l'opzione in base alle decisioni prese in diversi momenti. Per un'opzione con sede negli Stati Uniti, che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della data di scadenza, il modello binomiale può fornire indicazioni su quando esercitare l'opzione può essere consigliabile e quando deve essere mantenuta per periodi più lunghi. Osservando l'albero binomiale dei valori, un trader può determinare in anticipo quando può verificarsi una decisione su un esercizio. Se l'opzione ha un valore positivo, c'è la possibilità di esercitare mentre, se l'opzione ha un valore inferiore a zero, dovrebbe essere mantenuta per periodi più lunghi.
Calcolo del prezzo con il modello binomiale
Il metodo di base per calcolare il modello di opzione binomiale consiste nell'utilizzare la stessa probabilità ogni periodo per successo e fallimento fino alla scadenza dell'opzione. Tuttavia, un operatore può incorporare diverse probabilità per ciascun periodo in base a nuove informazioni ottenute col passare del tempo.
Un albero binomiale è uno strumento utile quando si valutano le opzioni americane e le opzioni incorporate. La sua semplicità è il suo vantaggio e svantaggio allo stesso tempo. L'albero è facile da modellare meccanicamente, ma il problema sta nei possibili valori che l'asset sottostante può assumere in un periodo di tempo. In un modello ad albero binomiale, l'asset sottostante può valere esattamente solo uno dei due valori possibili, il che non è realistico, poiché gli asset possono valere un numero qualsiasi di valori all'interno di un dato intervallo.
Ad esempio, potrebbe esserci una probabilità del 50/50 che il prezzo dell'attività sottostante possa aumentare o diminuire del 30 percento in un periodo. Per il secondo periodo, tuttavia, la probabilità che il prezzo delle attività sottostanti aumenti può aumentare a 70/30.
Ad esempio, se un investitore sta valutando un pozzo di petrolio, quell'investitore non è sicuro di quale sia il valore di quel pozzo di petrolio, ma esiste una probabilità 50/50 che il prezzo salga. Se i prezzi del petrolio saliranno nel periodo 1, rendendo il petrolio ben più prezioso e i fondamentali del mercato ora indicano un continuo aumento dei prezzi del petrolio, la probabilità di un ulteriore apprezzamento del prezzo potrebbe ora essere del 70 percento. Il modello binomiale consente questa flessibilità; il modello Black-Scholes no.
Esempio reale del modello di prezzi delle opzioni binomiali
Un esempio semplificato di un albero binomiale ha solo un passo. Supponiamo che ci sia uno stock al prezzo di $ 100 per azione. In un mese, il prezzo di questo titolo aumenterà di $ 10 o diminuirà di $ 10, creando questa situazione:
- Prezzo delle azioni = $ 100
- Prezzo delle azioni in un mese (stato up) = $ 110
- Prezzo delle azioni in un mese (stato negativo) = $ 90
Successivamente, supponiamo che ci sia un'opzione call disponibile su questo titolo che scade tra un mese e ha un prezzo di esercizio di $ 100. Nello stato attivo, questa opzione di chiamata vale $ 10 e nello stato giù vale $ 0. Il modello binomiale può calcolare quale dovrebbe essere il prezzo dell'opzione call oggi.
Ai fini della semplificazione, supponiamo che un investitore acquisti metà delle azioni e scriva o venda un'opzione call. L'investimento totale oggi è il prezzo di mezza quota in meno del prezzo dell'opzione e i possibili guadagni alla fine del mese sono:
- Costo oggi = $ 50 - prezzo dell'opzione
- Valore del portafoglio (stato up) = $ 55 - max ($ 110 - $ 100, 0) = $ 45
- Valore del portafoglio (stato inattivo) = $ 45 - max ($ 90 - $ 100, 0) = $ 45
Il payoff del portafoglio è uguale indipendentemente da come si muove il prezzo delle azioni. Alla luce di questo risultato, non assumendo opportunità di arbitraggio, un investitore dovrebbe guadagnare il tasso privo di rischio nel corso del mese. Il costo oggi deve essere uguale al payoff scontato al tasso privo di rischio per un mese. L'equazione da risolvere è quindi:
- Prezzo dell'opzione = $ 50 - $ 45 xe ^ (-rice senza rischio x T), dove e è la costante matematica 2.7183.
Supponendo che il tasso privo di rischio sia del 3% all'anno e T sia pari a 0, 0833 (uno diviso per 12), il prezzo dell'opzione call oggi è di $ 5, 11.
Grazie alla sua struttura semplice e iterativa, il modello di prezzi delle opzioni binomiali presenta alcuni vantaggi unici. Ad esempio, poiché fornisce un flusso di valutazioni per un derivato per ciascun nodo in un arco di tempo, è utile per valutare derivati come opzioni americane, che possono essere eseguiti in qualsiasi momento tra la data di acquisto e la data di scadenza. È anche molto più semplice di altri modelli di prezzi come il modello Black-Scholes.
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