Modello Scholes nero
Il modello Black Scholes, noto anche come modello Black-Scholes-Merton (BSM), è un modello matematico per la determinazione del prezzo di un contratto di opzioni. In particolare, il modello stima la variazione nel tempo di strumenti finanziari come azioni e l'utilizzo della volatilità implicita dell'attività sottostante determina il prezzo di un'opzione call.
Key Takeaways
- Il modello Black-Scholes Merton (BSM) è un'equazione differenziale utilizzata per risolvere i prezzi delle opzioni.
- Il modello ha vinto il premio Nobel in economia.
- Il modello BSM standard viene utilizzato solo per valutare le opzioni europee e non tiene conto del fatto che le opzioni statunitensi potrebbero essere esercitate prima della data di scadenza.
Le basi del modello Black Scholes
Il modello presuppone che il prezzo delle attività pesantemente negoziate segua un movimento geometrico browniano con deriva e volatilità costanti. Se applicato a un'opzione di borsa, il modello incorpora la variazione costante del prezzo dell'azione, il valore temporale del denaro, il prezzo di esercizio dell'opzione e il tempo alla scadenza dell'opzione.
Chiamato anche Black-Scholes-Merton, è stato il primo modello ampiamente utilizzato per i prezzi delle opzioni. Viene utilizzato per calcolare il valore teorico delle opzioni utilizzando i prezzi delle azioni correnti, i dividendi previsti, il prezzo di esercizio dell'opzione, i tassi di interesse attesi, il tempo di scadenza e la volatilità attesa.
La formula, sviluppata da tre economisti - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton - è forse il modello di tariffazione delle opzioni più noto al mondo. È stato introdotto nel loro documento del 1973, "Il prezzo delle opzioni e delle responsabilità d'impresa", pubblicato sul Journal of Political Economy . Il nero è deceduto due anni prima che Scholes e Merton ricevessero il premio Nobel per l'economia nel 1997 per il loro lavoro nella ricerca di un nuovo metodo per determinare il valore dei derivati (il premio Nobel non viene assegnato postumo; tuttavia, il comitato Nobel ha riconosciuto il ruolo di Black nella Modello Black-Scholes).
Il modello Black-Scholes fa alcune ipotesi:
- L'opzione è europea e può essere esercitata solo alla scadenza.
- Nessun dividendo viene erogato durante la vita dell'opzione.
- I mercati sono efficienti (cioè non è possibile prevedere i movimenti del mercato).
- Non ci sono costi di transazione per l'acquisto dell'opzione.
- Il tasso privo di rischio e la volatilità del sottostante sono noti e costanti.
- I rendimenti sul sottostante sono normalmente distribuiti.
Mentre il modello originale di Black-Scholes non ha considerato gli effetti dei dividendi pagati durante la vita dell'opzione, il modello viene spesso adattato per tenere conto dei dividendi determinando il valore della data ex dividendo del titolo sottostante.
La formula di Black Scholes
La matematica coinvolta nella formula è complicata e può essere intimidatoria. Fortunatamente, non è necessario conoscere o comprendere la matematica per utilizzare la modellazione Black-Scholes nelle proprie strategie. I trader di opzioni hanno accesso a una varietà di calcolatori di opzioni online e molte delle piattaforme di trading odierne vantano solidi strumenti di analisi delle opzioni, inclusi indicatori e fogli di calcolo che eseguono i calcoli e producono i valori dei prezzi delle opzioni.
La formula dell'opzione call di Black Scholes viene calcolata moltiplicando il prezzo delle azioni per la funzione di distribuzione di probabilità normale standard cumulativa. Successivamente, il valore attuale netto (VAN) del prezzo di esercizio moltiplicato per la distribuzione normale standard cumulativa viene sottratto dal valore risultante del calcolo precedente.
In notazione matematica:
C = StN (d1) −Ke − rtN (d2) dove: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 − σs twhere: C = Prezzo opzione callS = Prezzo corrente (o altro sottostante) priceK = Strike pricer = Ratet di interesse privo di rischio = Tempo alla scadenza N = Una distribuzione normale \ inizio {allineato} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {dove:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {and} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {dove:} \\ & C = \ text {Prezzo opzione call} \\ & S = \ text {Stock corrente (o altro sottostante) price} \\ & K = \ text {Strike price} \\ & r = \ text {Tasso di interesse privo di rischio} \\ & t = \ text {Time to maturity} \\ & N = \ text {Una distribuzione normale} \ \ \ end {allineato} C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) dove: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 −σs t dove: C = Prezzo dell'opzione callS = Prezzo corrente (o altro sottostante) K = Prezzo di esercizio = Ratet di interesse privo di rischio = Tempo alla scadenza N = Una distribuzione normale
01:33Modello Black-Scholes
Cosa ti dice il modello Black Scholes?
Il modello Black Scholes è uno dei concetti più importanti nella moderna teoria finanziaria. È stato sviluppato nel 1973 da Fischer Black, Robert Merton e Myron Scholes ed è ancora oggi ampiamente utilizzato. È considerato uno dei modi migliori per determinare prezzi equi delle opzioni. Il modello Black Scholes richiede cinque variabili di input: il prezzo di esercizio di un'opzione, il prezzo corrente del titolo, il tempo di scadenza, il tasso privo di rischio e la volatilità.
Il modello presuppone che i prezzi delle azioni seguano una distribuzione lognormale perché i prezzi delle attività non possono essere negativi (sono delimitati da zero). Questa è anche conosciuta come una distribuzione gaussiana. Spesso si osserva che i prezzi delle attività hanno una significativa asimmetria e un certo grado di curtosi (code grasse). Ciò significa che nel mercato si verificano spesso movimenti al ribasso ad alto rischio più spesso di quanto preveda una normale distribuzione.
L'ipotesi di prezzi delle attività sottostanti lognormali dovrebbe quindi mostrare che le volatilità implicite sono simili per ogni prezzo di esercizio secondo il modello di Black-Scholes. Tuttavia, dal crollo del mercato del 1987, le volatilità implicite per le opzioni monetarie sono state inferiori a quelle più lontane dal denaro o lontane dal denaro. La ragione di questo fenomeno è che il mercato sta scontando una maggiore probabilità di un passaggio ad alta volatilità al ribasso dei mercati.
Ciò ha portato alla presenza dell'inclinazione della volatilità. Quando le volatilità implicite per le opzioni con la stessa data di scadenza sono tracciate su un grafico, è possibile vedere una forma di sorriso o inclinazione. Pertanto, il modello di Black-Scholes non è efficiente per il calcolo della volatilità implicita.
Limitazioni del modello Black Scholes
Come affermato in precedenza, il modello Black Scholes viene utilizzato solo per valutare le opzioni europee e non tiene conto del fatto che le opzioni statunitensi potrebbero essere esercitate prima della data di scadenza. Inoltre, il modello presuppone che i dividendi e i tassi privi di rischio siano costanti, ma ciò potrebbe non essere vero nella realtà. Il modello presuppone inoltre che la volatilità rimanga costante durante la vita dell'opzione, il che non è il caso perché la volatilità fluttua con il livello di domanda e offerta.
Inoltre, il modello presuppone che non vi siano costi o tasse di transazione; che il tasso di interesse privo di rischio è costante per tutte le scadenze; che è consentita la vendita allo scoperto di titoli con utilizzo di proventi; e che non esistono opportunità di arbitraggio senza rischi. Queste ipotesi possono portare a prezzi che si discostano dal mondo reale in cui questi fattori sono presenti.