Comprensione del modello dei prezzi delle opzioni binomiali

Concordare prezzi precisi per qualsiasi attività negoziabile è una sfida: ecco perché i prezzi delle azioni cambiano costantemente. In realtà, le aziende difficilmente cambiano le loro valutazioni su base giornaliera, ma i loro prezzi delle azioni e le valutazioni cambiano quasi ogni secondo. Questa difficoltà nel raggiungere un consenso sulla corretta determinazione del prezzo per qualsiasi attività negoziabile porta a opportunità di arbitraggio di breve durata.

Ma molti investimenti di successo si riducono a una semplice domanda di valutazione attuale: qual è il giusto prezzo attuale oggi per un payoff futuro previsto?

Valutazione delle opzioni binarie

In un mercato competitivo, per evitare opportunità di arbitraggio, le attività con identiche strutture di payoff devono avere lo stesso prezzo. La valutazione delle opzioni è stata un compito impegnativo e le variazioni dei prezzi portano a opportunità di arbitraggio. Black-Scholes rimane uno dei modelli più popolari utilizzati per le opzioni di prezzo ma ha delle limitazioni.

Il modello di prezzo delle opzioni binomiali è un altro metodo popolare utilizzato per le opzioni di prezzo.

Esempi

Supponiamo che esista un'opzione call su un determinato titolo con un prezzo di mercato corrente di $ 100. L'opzione at the money (ATM) ha un prezzo di esercizio di $ 100 con scadenza alla scadenza di un anno. Ci sono due trader, Peter e Paula, che concordano entrambi che il prezzo delle azioni salirà a $ 110 o scenderà a $ 90 in un anno.

Sono d'accordo sui livelli di prezzo attesi in un determinato arco temporale di un anno, ma non sono d'accordo sulla probabilità del movimento verso l'alto o verso il basso. Peter ritiene che la probabilità che il prezzo del titolo scenda a $ 110 sia del 60%, mentre Paula ritiene che sia del 40%.

Sulla base di ciò, chi sarebbe disposto a pagare un prezzo maggiore per l'opzione call? Forse Peter, in quanto si aspetta un'alta probabilità del passaggio verso l'alto.

Calcoli delle opzioni binarie

Le due attività, dalle quali dipende la valutazione, sono l'opzione call e il titolo sottostante. Esiste un accordo tra i partecipanti sul fatto che il prezzo delle azioni sottostanti può spostarsi dagli attuali $ 100 a $ 110 o $ 90 in un anno e non ci sono altri movimenti di prezzo possibili.

In un mondo privo di arbitraggi, se devi creare un portafoglio composto da queste due attività, opzione call e azioni sottostanti, in modo tale che, indipendentemente da dove vada il prezzo sottostante - $ 110 o $ 90 - il rendimento netto sul portafoglio rimane sempre lo stesso . Supponiamo di acquistare azioni "d" di opzioni call sottostanti e short call per creare questo portafoglio.

Se il prezzo sale a $ 110, le tue azioni varranno $ 110 * d, e perderai $ 10 con il payoff short call. Il valore netto del tuo portafoglio sarà (110d - 10).

Se il prezzo scende a $ 90, le tue azioni varranno $ 90 * d e l'opzione scadrà inutilmente. Il valore netto del tuo portafoglio sarà (90 g).

Se vuoi che il valore del tuo portafoglio rimanga lo stesso indipendentemente da dove va il prezzo del titolo sottostante, allora il valore del tuo portafoglio dovrebbe rimanere lo stesso in entrambi i casi:

h (d) −m = l (d) dove: h = Prezzo potenziale sottostante più elevato = Numero di azioni sottostanti m = Denaro perso in payoff call short = Prezzo sottostante potenziale più basso \ inizio {allineato} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {dove:} \\ & h = \ text {Prezzo sottostante potenziale più alto} \\ & d = \ text {Numero di azioni sottostanti} \\ & m = \ text {Denaro perso in caso di pagamento delle chiamate brevi} \\ & l = \ text {Prezzo sottostante potenziale più basso} \\ \ end {allineato} h (d) −m = l (d) dove: h = Prezzo sottostante potenziale massimo = Numero di azioni sottostanti = Denaro perso in breve payoffl = Prezzo sottostante potenziale più basso

Quindi, se acquisti mezza quota, supponendo che siano possibili acquisti frazionari, riuscirai a creare un portafoglio in modo che il suo valore rimanga lo stesso in entrambi i possibili stati entro il periodo di tempo di un anno.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {allineato} e 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {allineato} 110d − 10 = 90dd = 21

Questo valore di portafoglio, indicato da (90d) o (110d - 10) = 45, è un anno dopo la fine. Per calcolare il suo valore attuale, può essere attualizzato dal tasso di rendimento privo di rischio (assumendo il 5%).

Valore attuale = 90 g × e (−5% × 1 anno) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ inizio {allineato} \ testo {Valore attuale} & = 90 g \ volte e ^ {(-5 \% \ volte 1 \ testo {Year})} \\ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ end {allineato} Valore attuale = 90d × e (−5% × 1 anno) = 45 × 0.9523 = 42.85

Dal momento che al momento il portafoglio è composto da ½ quota di azioni sottostanti (con un prezzo di mercato di $ 100) e una breve chiamata, dovrebbe essere uguale al valore attuale.

12 × 100−1 × Prezzo di chiamata = $ 42, 85 Prezzo di chiamata = $ 7, 14, ovvero il prezzo di chiamata di oggi \ inizio {allineato} & \ frac {1} {2} \ volte 100 - 1 \ volte \ testo {Prezzo di chiamata} = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Prezzo di chiamata} = \ $ 7, 14 \ testo {, ovvero il prezzo di chiamata di oggi} \\ \ end {allineato} 21 × 100−1 × Prezzo di chiamata = $ 42, 85 Prezzo di chiamata = $ 7, 14, ovvero il prezzo di chiamata di oggi

Poiché ciò si basa sul presupposto che il valore del portafoglio rimanga lo stesso indipendentemente da quale andamento del prezzo sottostante, la probabilità di un movimento al rialzo o al ribasso non gioca alcun ruolo. Il portafoglio rimane privo di rischi indipendentemente dalle variazioni dei prezzi sottostanti.

In entrambi i casi (si ipotizza che aumentino a $ 110 e scendano a $ 90), il portafoglio è neutrale rispetto al rischio e guadagna il tasso di rendimento privo di rischio.

Quindi entrambi i trader, Peter e Paula, sarebbero disposti a pagare gli stessi $ 7, 14 per questa opzione call, nonostante le loro diverse percezioni delle probabilità di rialzi (60% e 40%). Le loro probabilità percepite individualmente non contano nella valutazione delle opzioni.

Supponendo invece che le probabilità individuali contino, potrebbero essersi presentate opportunità di arbitraggio. Nel mondo reale, tali opportunità di arbitraggio esistono con differenze di prezzo minori e svaniscono a breve termine.

Ma dov'è la volatilità tanto attesa in tutti questi calcoli, un fattore importante e sensibile che influenza i prezzi delle opzioni?

La volatilità è già inclusa dalla natura della definizione del problema. Supponendo due (e solo due - da cui il nome "binomiale") dei livelli di prezzo ($ 110 e $ 90), la volatilità è implicita in questo assunto e inclusa automaticamente (10% in entrambi i modi in questo esempio).

Black-Scholes

Ma questo approccio è corretto e coerente con i prezzi di Black-Scholes comunemente usati? I risultati del calcolatore di opzioni (per gentile concessione di OIC) corrispondono strettamente al valore calcolato:

Sfortunatamente, il mondo reale non è così semplice come "solo due stati". Lo stock può raggiungere diversi livelli di prezzo prima della scadenza.

È possibile includere tutti questi livelli multipli in un modello di prezzi binomiale limitato a soli due livelli ">

Matematica semplice

Per generalizzare questo problema e soluzione:

"X" è l'attuale prezzo di mercato di un titolo e "X * u" e "X * d" sono i prezzi futuri per i movimenti su e giù "t" anni dopo. Il fattore "u" sarà maggiore di uno in quanto indica una mossa in alto e "d" si troverà tra zero e uno. Per l'esempio sopra, u = 1.1 e d = 0.9.

I payoff delle opzioni call sono "P _su " e "P _dn " per i movimenti su e giù al momento della scadenza.

Se si crea un portafoglio di azioni "s" acquistate oggi e si abbrevia un'opzione call, quindi dopo "t":

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Valore del portafoglio in caso di rialzo \ inizio {allineato} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valore del portafoglio in caso di rialzo} \\ \ end {allineato} VUM = s × X × u − Pup dove: VUM = Valore del portafoglio in caso di rialzo

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Valore del portafoglio in caso di movimento discendente \ inizio {allineato} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valore del portafoglio in caso di spostamento verso il basso} \\ \ end {allineato} VDM = s × X × d − Pdown dove: VDM = Valore del portafoglio in caso di ribasso

Per una valutazione simile in entrambi i casi di variazione del prezzo:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− pup = s × X × d-PDOWN

s = Pup − PdownX × (u − d) = Il numero di azioni da acquistare per = un portafoglio privo di rischio \ inizio {allineato} s & = \ frac {P_ \ text {su} - P_ \ testo {giù} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Il numero di azioni da acquistare per} \\ & \ phantom {=} \ text {un portafoglio privo di rischi} \\ \ end {allineato} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Il numero di azioni da acquistare per = un portafoglio privo di rischio

Il valore futuro del portafoglio alla fine degli anni "t" sarà:

In caso di spostamento verso l'alto = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ inizio {allineato} \ testo {In caso di spostamento verso l'alto} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {su} \\ \ end {allineato} In caso di Su Sposta = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

In caso di spostamento verso il basso = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ inizio {allineato} \ testo {In caso di spostamento verso il basso} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {align} In caso di Giù Sposta = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Il valore attuale può essere ottenuto scontandolo con il tasso di rendimento privo di rischio:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] dove: PV = Valore attuale = Tempo di rendimento = Tempo, in anni \ inizio {allineato} & \ testo {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { dove:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valore attuale} \\ & r = \ text {Tasso di rendimento} \\ & t = \ text {Tempo, in anni} \\ \ end {allineato} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] dove: PV = Valore attuale = Tasso di rendimento t = Tempo, in anni

Ciò dovrebbe corrispondere alla detenzione in portafoglio di azioni "s" al prezzo X e il valore delle chiamate short "c" (la partecipazione odierna di (s * X - c) dovrebbe equivalere a questo calcolo.) Risolvere per "c" alla fine gli dà come:

Nota: se il premio call è in corto, dovrebbe essere un'aggiunta al portafoglio, non una sottrazione.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {su} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (-rt) × [(e (-rt) -d) × Pup + (u-e (-rt)) × PDOWN]

Un altro modo per scrivere l'equazione è riorganizzarla:

Prendendo "q" come:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Quindi l'equazione diventa:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {su} + (1 - q) \ times P_ \ testo {giù}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Riorganizzare l'equazione in termini di "q" ha offerto una nuova prospettiva.

Ora puoi interpretare "q" come la probabilità dello spostamento verso l'alto del sottostante (poiché "q" è associato a P _su e "1-q" è associato a P _dn ). Nel complesso, l'equazione rappresenta il prezzo dell'opzione attuale, il valore scontato del suo payoff alla scadenza.

Questa "Q" è diversa

In che modo questa probabilità "q" è diversa dalla probabilità di una mossa in alto o in basso del sottostante ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Valore del prezzo delle azioni al momento t \ begin {allineato} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {dove:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valore del prezzo delle azioni al momento} t \\ \ end {allineato} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Valore del prezzo delle azioni al momento t

Sostituendo il valore di "q" e riorganizzando, il prezzo delle azioni al momento "t" arriva a:

Prezzo azioni = e (rt) × X \ begin {allineato} & \ text {Prezzo azioni} = e (rt) \ volte X \\ \ end {allineato} Prezzo azioni = e (rt) × X

In questo presunto mondo di due stati, il prezzo delle azioni aumenta semplicemente del tasso di rendimento privo di rischio, esattamente come un'attività priva di rischio, e quindi rimane indipendente da qualsiasi rischio. Gli investitori sono indifferenti al rischio in base a questo modello, quindi questo costituisce il modello neutrale al rischio.

Probabilità "q" e "(1-q)" sono conosciute come probabilità neutrali al rischio e il metodo di valutazione è noto come modello di valutazione neutrale al rischio.

Lo scenario di esempio ha un requisito importante: la futura struttura di payoff è richiesta con precisione (livello $ 110 e $ 90). Nella vita reale, tale chiarezza sui livelli di prezzo basati sui gradini non è possibile; piuttosto il prezzo si muove casualmente e può stabilizzarsi su più livelli.

Per espandere ulteriormente l'esempio, supponiamo che siano possibili livelli di prezzo in due fasi. Conosciamo i profitti finali della seconda fase e dobbiamo valutare l'opzione oggi (nella fase iniziale):

Lavorando all'indietro, la valutazione intermedia del primo passo (at = 1) può essere effettuata usando i guadagni finali al passaggio due (t = 2), quindi usando questi valori di valutazione del primo passo calcolati (t = 1), la valutazione attuale (t = 0) può essere raggiunto con questi calcoli.

Per ottenere i prezzi delle opzioni al numero due, vengono utilizzati i pagamenti a quattro e cinque. Per ottenere i prezzi per il numero tre, vengono utilizzati i pagamenti a cinque e sei. Infine, i guadagni calcolati a due e tre vengono utilizzati per ottenere i prezzi al numero uno.

Si noti che questo esempio assume lo stesso fattore per i movimenti su (e giù) in entrambi i passaggi - u e d vengono applicati in modo composto.

Un esempio funzionante

Supponiamo che un'opzione put con un prezzo d'esercizio di $ 110 sia attualmente negoziata a $ 100 e scada tra un anno. Il tasso annuale privo di rischio è del 5%. Il prezzo dovrebbe aumentare del 20% e diminuire del 15% ogni sei mesi.

Qui, u = 1, 2 e d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

usando la formula sopra derivata di

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

otteniamo q = 0, 35802832

valore dell'opzione put al punto 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) dove: p = Prezzo dell'opzione put \ begin {align} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {dove:} \\ & p = \ text {Prezzo dell'opzione put} \\ \ end {allineato} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) dove: p = Prezzo dell'opzione put

Alla condizione P _upup, il sottostante sarà = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144 che porta a P _upup = zero

Alla condizione P _updn, il sottostante sarà = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102 che porta a P _updn = $ 8

A condizione P _dndn, il sottostante sarà = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25 che porta a P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

Allo stesso modo, p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p3 p2 + (1-q))

E quindi il valore dell'opzione put, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18, 29.

Allo stesso modo, i modelli binomiali consentono di interrompere l'intera durata dell'opzione per perfezionare più passaggi e livelli. Utilizzando programmi per computer o fogli di calcolo, è possibile tornare indietro di un passo alla volta per ottenere il valore attuale dell'opzione desiderata.

Un altro esempio

Supponi un'opzione put di tipo europeo con scadenza a nove mesi, un prezzo di esercizio di $ 12 e un prezzo sottostante corrente a $ 10. Assumi un tasso privo di rischio del 5% per tutti i periodi. Supponiamo che ogni tre mesi, il prezzo sottostante possa salire o scendere del 20%, dandoci u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 e un albero binomiale in tre fasi.

Il rosso indica i prezzi sottostanti, mentre il blu indica il payoff delle opzioni put.

La probabilità neutrale al rischio "q" viene calcolata su 0, 531446.

Utilizzando il valore precedente di "q" e i valori di payoff a t = nove mesi, i valori corrispondenti a t = sei mesi vengono calcolati come:

Inoltre, usando questi valori calcolati at = 6, i valori at = 3 quindi at = 0 sono:

Ciò dà il valore attuale di un'opzione put a $ 2, 18, abbastanza vicino a quello che potresti trovare facendo i calcoli usando il modello Black-Scholes ($ 2, 30).

La linea di fondo

Sebbene l'utilizzo di programmi per computer possa rendere facili questi calcoli intensivi, la previsione dei prezzi futuri rimane una grande limitazione dei modelli binomiali per i prezzi delle opzioni. Quanto più fini sono gli intervalli di tempo, tanto più difficile diventa prevedere i profitti alla fine di ogni periodo con precisione di alto livello.

Tuttavia, la flessibilità di incorporare i cambiamenti previsti in periodi diversi è un vantaggio, il che lo rende adatto per la valutazione delle opzioni americane, comprese le valutazioni di esercizio anticipato.

I valori calcolati usando il modello binomiale corrispondono strettamente a quelli calcolati da altri modelli comunemente usati come Black-Scholes, che indica l'utilità e l'accuratezza dei modelli binomiali per il prezzo delle opzioni. I modelli di prezzi binomiali possono essere sviluppati in base alle preferenze di un trader e possono funzionare in alternativa a Black-Scholes.