Usi e limiti della volatilità

Agli investitori piace concentrarsi sulla promessa di rendimenti elevati, ma dovrebbero anche chiedere quanti rischi devono assumere in cambio di tali rendimenti. Sebbene parliamo spesso di rischio in senso generale, ci sono anche espressioni formali della relazione rischio-rendimento. Ad esempio, il rapporto di Sharpe misura l'eccesso di rendimento per unità di rischio, dove il rischio è calcolato come volatilità, che è una misura di rischio tradizionale e popolare. Le sue proprietà statistiche sono ben note e si inseriscono in numerosi framework, come la moderna teoria del portafoglio e il modello di Black-Scholes. In questo articolo, esaminiamo la volatilità per comprenderne gli usi e i limiti.

Deviazione standard annualizzata
A differenza della volatilità implicita - che appartiene alla teoria dei prezzi delle opzioni ed è una stima lungimirante basata su un consenso del mercato - la volatilità regolare guarda indietro. In particolare, si tratta della deviazione standard annualizzata dei rendimenti storici.

I quadri di rischio tradizionali che si basano sulla deviazione standard generalmente presuppongono che i rendimenti siano conformi a una normale distribuzione a campana. Le normali distribuzioni ci forniscono utili linee guida: circa i due terzi del tempo (68, 3%), i rendimenti dovrebbero rientrare in una deviazione standard (+/-); e il 95% delle volte, i rendimenti dovrebbero rientrare in due deviazioni standard. Due qualità di un normale grafico di distribuzione sono le "code" scarne e la perfetta simmetria. Le code magre implicano una ricorrenza molto bassa (circa lo 0, 3% delle volte) di rendimenti che sono più di tre deviazioni standard dalla media. La simmetria implica che la frequenza e l'entità dei guadagni al rialzo sono un'immagine speculare delle perdite al ribasso.

VEDI: Impatto della volatilità sui rendimenti del mercato

Di conseguenza, i modelli tradizionali considerano tutte le incertezze come rischi, indipendentemente dalla direzione. Come molte persone hanno dimostrato, questo è un problema se i rendimenti non sono simmetrici: gli investitori si preoccupano delle loro perdite "alla sinistra" della media, ma non si preoccupano dei guadagni alla destra della media.

Di seguito illustriamo questa stranezza con due titoli immaginari. Il materiale in caduta (linea blu) è completamente privo di dispersione e quindi produce una volatilità pari a zero, ma il materiale in aumento, poiché presenta diversi shock al rialzo ma non una singola caduta, produce una volatilità (deviazione standard) del 10%.

Proprietà teoriche
Ad esempio, quando calcoliamo la volatilità per l'indice S&P 500 al 31 gennaio 2004, arriviamo ovunque dal 14, 7% al 21, 1%. Perché una tale gamma ">

Si noti che la volatilità aumenta all'aumentare dell'intervallo, ma non quasi in proporzione: il settimanale non è quasi cinque volte l'importo giornaliero e il mensile non è quasi quattro volte il settimanale. Siamo arrivati ​​a un aspetto chiave della teoria del cammino casuale: scale di deviazione standard (aumenti) in proporzione alla radice quadrata del tempo. Pertanto, se la deviazione standard giornaliera è dell'1, 1% e se vi sono 250 giorni di negoziazione in un anno, la deviazione standard annualizzata è la deviazione standard giornaliera dell'1, 1% moltiplicata per la radice quadrata di 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Sapendo questo, possiamo annualizzare le deviazioni standard dell'intervallo per l'S & P 500 moltiplicando per la radice quadrata del numero di intervalli in un anno:

Un'altra proprietà teorica della volatilità può sorprenderti o meno: erode i rendimenti. Ciò è dovuto al presupposto chiave dell'idea di camminata casuale: che i rendimenti sono espressi in percentuale. Immagina di iniziare con $ 100 e poi guadagnare il 10% per ottenere $ 110. Quindi perdi il 10%, il che ti fa guadagnare $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Quindi guadagni di nuovo il 10%, raggiungendo $ 108, 90 ($ 99 x 110% = $ 108, 9). Infine, perdi il 10% a $ 98, 01. Può essere controintuitivo, ma il tuo principale si sta lentamente erodendo anche se il tuo guadagno medio è dello 0%!

Se, ad esempio, ti aspetti un guadagno annuo medio del 10% all'anno (ad esempio, la media aritmetica), il tuo guadagno atteso a lungo termine è inferiore al 10% all'anno. In effetti, sarà ridotto di circa la metà della varianza (dove la varianza è la deviazione standard al quadrato). Nell'ipotetico puro sotto, iniziamo con $ 100 e poi immaginiamo che cinque anni di volatilità finiscano con $ 157:

I rendimenti annuali medi nei cinque anni sono stati del 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), ma il

(CAGR o ritorno geometrico) è una misura più accurata di

e solo il 9, 49%. La volatilità ha eroso il risultato e la differenza è circa la metà della varianza dell'1, 1%. Questi risultati non sono da un esempio storico, ma in termini di aspettative, data una deviazione standard di

(la varianza è il quadrato della deviazione standard,

^ 2) e un guadagno medio previsto di

, il rendimento annuo atteso è di circa

- (

^ 2 ÷ 2).

Are Returns Well-Behaved "> Nasdaq di seguito (circa 2.500 osservazioni giornaliere):

Come prevedibile, la volatilità di Nasdaq (deviazione standard annualizzata del 28, 8%) è superiore alla volatilità dell'S & P 500 (deviazione standard annualizzata al 18, 1%). Possiamo osservare due differenze tra la distribuzione normale e i rendimenti effettivi. Innanzitutto, i rendimenti effettivi hanno picchi più alti, il che significa una maggiore preponderanza dei rendimenti vicino alla media. In secondo luogo, i rendimenti effettivi hanno code più grandi. (Le nostre scoperte si allineano in qualche modo con studi accademici più estesi, che tendono anche a trovare picchi alti e code grasse; il termine tecnico per questo è kurtosi). Supponiamo che consideriamo meno tre deviazioni standard una grande perdita: l'S & P 500 ha subito una perdita giornaliera di meno tre deviazioni standard circa il -3, 4% delle volte. La curva normale prevede che tale perdita si verificherebbe circa tre volte in 10 anni, ma in realtà è avvenuta 14 volte!

Si tratta di distribuzioni di rendimenti a intervallo separato, ma cosa dice la teoria sui rendimenti nel tempo "> il rendimento medio annuo (negli ultimi 10 anni) è stato di circa il 10, 6% e, come discusso, la volatilità annualizzata è stata del 18, 1%. Qui eseguiamo un ipotetico iniziando con $ 100 e trattenendolo per 10 anni, ma ogni anno esponiamo l'investimento a un risultato casuale che si aggirava sul 10, 6% con una deviazione standard del 18, 1%. Questo processo è stato effettuato 500 volte, rendendolo un cosiddetto Monte Carlo simulazione: i risultati finali del prezzo di 500 prove sono mostrati di seguito:

Una distribuzione normale viene mostrata come sfondo unicamente per evidenziare risultati del tutto non normali. Tecnicamente, i risultati finali del prezzo sono lognormali (nel senso che se l'asse x fosse convertito in log naturale di x, la distribuzione sembrerebbe più normale). Il punto è che diversi risultati sui prezzi sono molto più a destra: su 500 prove, sei risultati hanno prodotto un risultato di fine periodo di $ 700! Questi pochi e preziosi risultati sono riusciti a guadagnare oltre il 20% in media, ogni anno, in 10 anni. Sul lato sinistro, poiché un saldo discendente riduce gli effetti cumulativi delle perdite percentuali, abbiamo ottenuto solo una manciata di risultati finali inferiori a $ 50. Per riassumere un'idea difficile, possiamo dire che i rendimenti degli intervalli - espressi in termini percentuali - sono normalmente distribuiti, ma i risultati del prezzo finale sono normalmente distribuiti.

VEDI: Modelli multivariati: l'analisi di Monte Carlo

Infine, un'altra scoperta delle nostre prove è coerente con gli "effetti di erosione" della volatilità: se il tuo investimento guadagnasse esattamente la media ogni anno, alla fine manterresti circa $ 273 (il 10, 6% composto in 10 anni). Ma in questo esperimento, il nostro guadagno complessivo previsto era più vicino a $ 250. In altre parole, il guadagno annuale (aritmetico) medio è stato del 10, 6%, ma il guadagno cumulativo (geometrico) era inferiore.

È fondamentale tenere presente che la nostra simulazione presuppone una camminata casuale: si presume che i ritorni da un periodo all'altro siano totalmente indipendenti. Non lo abbiamo dimostrato in alcun modo, e non è un presupposto banale. Se ritieni che i rendimenti seguano le tendenze, stai tecnicamente dicendo che mostrano una correlazione seriale positiva. Se pensi che ritornino alla media, tecnicamente stai dicendo che mostrano una correlazione seriale negativa. Nessuna delle due posizioni è coerente con l'indipendenza.

La linea di fondo
La volatilità è la deviazione standard annualizzata dei rendimenti. Nel quadro teorico tradizionale, non solo misura il rischio, ma influisce sull'aspettativa di rendimenti a lungo termine (multi-periodo). Come tale, ci chiede di accettare le ipotesi dubbie secondo cui i rendimenti degli intervalli sono normalmente distribuiti e indipendenti. Se questi presupposti sono veri, l'elevata volatilità è un'arma a doppio taglio: erode il rendimento atteso a lungo termine (riduce la media aritmetica alla media geometrica), ma offre anche maggiori possibilità di ottenere alcuni grandi guadagni.

VEDI: Volatilità implicita: compra basso e vendi alto